【題目】給出如下規(guī)定:兩個(gè)圖形,點(diǎn)上任一點(diǎn),點(diǎn)上任一點(diǎn),如果線段的長度存在最小值,就稱該最小值為兩個(gè)圖形之間的距離.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

1)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)和射線之間的距離為______,點(diǎn)和射線之間的距離為    

2)如果直線和雙曲線之間的距離為,那么____(可在圖1中進(jìn)行研究)

3)點(diǎn)的坐標(biāo)為,將射線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到射線,在坐標(biāo)平面內(nèi)所有和射線之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形

①請?jiān)趫D2中畫出圖形,井描述圖形的組成部分:(若涉及平面中某個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影表示)

②將射線組成的圖形記為圖形,拋物線與圖形的公共部分記為圖形,請直接寫出圖形和圖形之間的距離.

【答案】13,5;(2-2;(3)①圖形見解析;圖形My軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn);②

【解析】

1)只需根據(jù)新定義即可解決問題;
2)過點(diǎn)O作直線y=x的垂線,與雙曲線交于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)BBHx軸,如圖1,根據(jù)新定義可得直線y=x和雙曲線之間的距離就是線段OB的長,如何只需求出點(diǎn)B的坐標(biāo),運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出k的值;
3)①過點(diǎn)O分別作射線OE、OF的垂線OG、OH,如圖2,根據(jù)新定義可得圖形My軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn);
②設(shè)拋物線y=x2-2與射線OG的交點(diǎn)為Q,如圖3,圖形N上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為(x,x2-2),根據(jù)新定義可得圖形W與圖形N之間的距離為的最小值.可通過求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)得到x2的范圍,然后利用二次函數(shù)的增減性求出x2+x2-22=x2-2+的最小值,就可解決問題.

1)點(diǎn)(2,3)和射線OA之間的距離為3,
點(diǎn)(-3,4)和射線OA之間的距離為
故答案分別為:3,5;
2)∵直線y=x和雙曲線之間的距離為2
k0(否則直線y=x和雙曲線相交,它們之間的距離為0).
過點(diǎn)O作直線y=x的垂線,與雙曲線交于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)BBHx軸,如圖1,

RtOHB中,∠HOB=HBO=45°,OB=2
則有OH=BH=OB=,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(),
k=span>,
故答案為:-2;
3)①過點(diǎn)O分別作射線OEOF的垂線OG、OH,如圖2,

則圖形M為:y軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn)(圖2中的陰影部分);
②圖形W與圖形N之間的距離為

4

3



理由:設(shè)拋物線y=x2-2與射線OH的交點(diǎn)為P,與射線OG的交點(diǎn)為Q,如圖3,

圖形N為拋物線上P、Q之間(含PQ)的部分,故圖形N上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為(x,x2-2),
則圖形W與圖形N之間的距離為的最小值.
E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)

∴直線OE的解析式為:y=x,故直線OG的解析式為:y=-x

聯(lián)立方程組

解得:

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-1),從而有0≤x2≤1,
由此可得x2+x2-22=x2-2+的最小值為(1-2+=2,
則圖形W與圖形N之間的距離為

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(1)求證:△BOQ≌△POQ;

(2)若直徑AB的長為12

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①當(dāng)m3 時(shí),直接寫出區(qū)域W 內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);

②若區(qū)域W 內(nèi)有整點(diǎn),且個(gè)數(shù)不超過 5 個(gè),結(jié)合圖象,求 m 的取值范圍.

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小智聽了小蕓的分析后,按照這個(gè)思路很快就畫出了一個(gè)過三點(diǎn)的圓.

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(3)在(2)的條件下,拋物線y=mx2+(3m+1)x+3y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D,設(shè)此拋物線在﹣3≤x≤﹣之間的部分為圖象G,如果圖象G向右平移n(n>0)個(gè)單位長度后與直線CD有公共點(diǎn),求n的取值范圍.

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