Question

【題目】已知二次函數(shù)與軸交于、（在的左側(cè)）與軸交于點(diǎn)，連接、.

（1）如圖1，點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)分別為軸上的動點(diǎn)，連接、、，求的周長最小值；

（2）如圖2，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，將拋物線沿射線的方向平移得到新的拋物線，使得交軸于點(diǎn)（在的左側(cè)）. 將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至. 拋物線的對稱軸上有—動點(diǎn)，坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析；，，，，

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出A，B，C的坐標(biāo)，如圖1中，作PQ∥y軸交BC于Q，設(shè)P，則Q，構(gòu)建二次函數(shù)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，作P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P1（-4，6），作P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2（4，-6），的周長最小，其周長等于線段的長，由此即可解決問題．

（2）首先求出平移后的拋物線的解析式，確定點(diǎn)H，點(diǎn)C′的坐標(biāo)，分三種情形，當(dāng)OC′=C′S時(shí)，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2．當(dāng)OC′=OS時(shí)，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4．當(dāng)OC′是菱形的對角線時(shí)，分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖，，

過點(diǎn)作軸平行線，交線段于點(diǎn)，

設(shè)，

=-（m2-4）2+4，

∵，

∴m=4時(shí)，△PBC的面積最大，此時(shí)P（4，6）

作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸、軸分別為，

此時(shí)的周長最小，其周長等于線段的長；

∵，

∴.

（2）如圖，

∵E（0，-4），平移后的拋物線經(jīng)過E，B，

∴拋物線的解析式為y=-x2+bx-4，把B（8，0）代入得到b=4，

∴平移后的拋物線的解析式為y=-x+4x-4=-（x-2）（x-8），

令y=0，得到x=2或8，

∴H（2，0），

∵△CHB繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△C′HB′，

∴C′（6，2），

當(dāng)OC′=C′S時(shí)，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2，

∵OC′=C′S==2，

∴可得S1（5，2-），S2（5，2+），

∵點(diǎn)C′向左平移一個單位，向下平移得到S1，

∴點(diǎn)O向左平移一個單位，向下平移個單位得到K1，

∴K1（-1，-），同法可得K2（-1，），

當(dāng)OC′=OS時(shí)，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4，

同法可得K3（11，2-），K4（11，2+），

當(dāng)OC′是菱形的對角線時(shí)，設(shè)S5（5，m），則有52+m2=12+（2-m）2，

解得m=-5，

∴S5（5，-5），

∵點(diǎn)O向右平移5個單位，向下平移5個單位得到S5，

∴C′向上平移5個單位，向左平移5個單位得到K5，

∴K5（1，7），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為（-1，-）或（-1，）或（11，2-）或（11，2+）或（1，7）．