【題目】已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點,以BP為邊作正方形BPEF,使點F在線段CB的延長線上,連接EA、EC.

(1)如圖1,若點P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC;

(2)若點P在線段AB上.

①如圖2,連接AC,當(dāng)P為AB的中點時,判斷△ACE的形狀,并說明理由;

②如圖3,設(shè)AB=a,BP=b,當(dāng)EP平分∠AEC時,求a:b及∠AEC的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;(2)△ACE是直角三角形a:b=:1,∠AEC=45°.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△APE≌△CFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;

(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)解答;

②根據(jù)PE∥CF,得到,代入a、b的值計算求出a:b,根據(jù)角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG,證明∠AEC=∠ACB,即可求出∠AEC的度數(shù).

試題解析:(1)∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形,∴AB=BC,BP=BF,∴AP=CF,在△APE和△CFE中,AP=CF,P=F,PE=EF,∴△APE≌△CFE,∴EA=EC;

(2)①∵P為AB的中點,∴PA=PB,又PB=PE,∴PA=PE,∴∠PAE=45°,又∠DAC=45°,∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;

②∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,∴AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a

∵PE∥CF,∴,即,解得;

作GH⊥AC于H,∵∠CAB=45°,∴HG=AG==,又BG=2b﹣a=,∴GH=GB,GH⊥AC,GB⊥BC,∴∠HCG=∠BCG,∵PE∥CF,∴∠PEG=∠BCG,∴∠AEC=∠ACB=45°,a:b=:1;∴∠AEC=45°.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀理解

材料一:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形叫梯形,其中平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的腰,連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì):梯形的中位線平行于兩底和,并且等于兩底和的一半.

如圖(1):在梯形ABCD中:AD∥BC,

∵E、F是AB、CD的中點,∴EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).

材料二:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊

如圖(2):在△ABC中:∵E是AB的中點,EF∥BC,

∴F是AC的中點.

請你運用所學(xué)知識,結(jié)合上述材料,解答下列問題.

如圖(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,E、F分別為AB、CD的中點,∠DBC=30°.

(1)求證:EF=AC;

(2)若OD=,OC=5,求MN的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在ABC中,ACB=90°,AC=BC,EAC=90°,點M為射線AE上任意一點(不與A重合),連接CM,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點F、D.

(1)直接寫出NDE的度數(shù);

(2)如圖2、圖3,當(dāng)EAC為銳角或鈍角時,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?如果不變,選取其中一種情況加以證明;如果變化,請說明理由;

(3)如圖4,若EAC=15°,ACM=60°,直線CM與AB交于G,BD= ,其他條件不變,求線段AM的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果|a|>a , 那么a是(
A.正數(shù)
B.負(fù)數(shù)
C.零
D.不能確定

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若|x|=4,則x=.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在數(shù)軸上表示﹣4的點到原點的距離是( )

A. 4 B. 4 C. ±4 D. 2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題:如圖(1),在RtACB中,ACB=90°,AC=CB,DCE=45°,試探究AD、DE、EB滿足的等量關(guān)系.

[探究發(fā)現(xiàn)]

小聰同學(xué)利用圖形變換,將CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CBH,連接EH,由已知條件易得EBH=90°,ECH=ECB+BCH=ECB+ACD=45°根據(jù)“邊角邊”,可證△CEH≌ ,得EH=ED.

在Rt△HBE中,由 定理,可得BH2+EB2=EH2,由BH=AD,可得AD、DE、EB之間的等量關(guān)系是

[實踐運用]

(1)如圖(2),在正方形ABCD中,AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求EAF的度數(shù);

(2)在(1)條件下,連接BD,分別交AE、AF于點M、N,若BE=2,DF=3,BM=2,運用小聰同學(xué)探究的結(jié)論,求正方形的邊長及MN的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是某學(xué)校全體教職工年齡的頻數(shù)分布直方圖(每組年齡包含最小值,不包含最大值),根據(jù)圖形提供的信息,下列說法中錯誤的是(
A.該學(xué)校教職工總?cè)藬?shù)是50人
B.這一組年齡在40≤x<42小組的教職工人數(shù)占該學(xué)校全體教職工總?cè)藬?shù)的20%
C.教職工年齡的中位數(shù)一定落在40≤x<42這一組
D.教職工年齡的眾數(shù)一定在38≤x<40這一組

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(2013年四川瀘州2分)下列各式計算正確的是【  】

A.(a72=a9     B.a(chǎn)7a2=a14      C.2a2+3a3=5a5     D.(ab)3=a3b3

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