【題目】閱讀理解

材料一:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形叫梯形,其中平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的腰,連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì):梯形的中位線平行于兩底和,并且等于兩底和的一半.

如圖(1):在梯形ABCD中:AD∥BC,

∵E、F是AB、CD的中點,∴EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).

材料二:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊

如圖(2):在△ABC中:∵E是AB的中點,EF∥BC,

∴F是AC的中點.

請你運用所學(xué)知識,結(jié)合上述材料,解答下列問題.

如圖(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,E、F分別為AB、CD的中點,∠DBC=30°.

(1)求證:EF=AC;

(2)若OD=,OC=5,求MN的長.

【答案】(1)證明見試題解析;(2)2.

【解析】

試題分析:(1)由直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半,可得OA=AD,OC=BC,即可證明;

(2)直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半,得出OA=3,利用平行線得出ON=MN,再根據(jù)AN=AC=4,得出ON=4﹣3=1,進而得出MN的值.

試題解析:(1)∵AD∥BC,∴∠ADO=∠DBC=30°,∴在Rt△AOD和Rt△BOC中,OA=AD,OC=BC,∴AC=OA+OC=(AD+BC),∵EF=(AD+BC),∴AC=EF;

(2)∵AD∥BC,∴∠ADO=∠DBC=30°,∴在Rt△AOD和Rt△BOC中,OA=AD,OC=BC,

∵OD=,OC=5,∴OA=3,∵AD∥EF,∴∠ADO=∠OMN=30°,∴ON=MN,∵AN=AC=(OA+OC)=4,∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1,∴MN=2ON=2.

練習冊系列答案
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(1)如圖1,若點P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC;

(2)若點P在線段AB上.

①如圖2,連接AC,當P為AB的中點時,判斷△ACE的形狀,并說明理由;

②如圖3,設(shè)AB=a,BP=b,當EP平分∠AEC時,求a:b及∠AEC的度數(shù).

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