Question

14．已知⊙O的直徑為10，點A、點B、點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD的長；
（2）如圖②，若∠CAB=60°，CF⊥BD，①求證：CF是⊙O的切線；②求由弦CD、CB以及弧DB圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5$\sqrt{2}$；
（2）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠CAD=30°，求得∠COD=60°，得到△COD是等邊三角形，求得∠OCD=60°，得到∠FCD=30°，于是得到結(jié)論；②連接OB，根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=60°，推出OC∥BD，得到S_陰影=S_扇形，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=8，
∵AD平分∠CAB，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD²+BD²=BC²，
∴易求BD=CD=5 $\sqrt{2}$；
（2）①證明：∵∠BAC=60°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=30°，
∴∠COD=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠OCD=60°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∵∠CDF=∠CAB=60°，
∴∠FCD=30°，
∴∠OCF=∠OCD+∠DCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線；
②連接OB，
∵∠BAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠ODB=∠COD=60°，
∴OC∥BD，
∴S_陰影=S_扇形，
∵⊙O的直徑為10，
∴OB=5，
∴S_陰影=S_扇形=$\frac{60•π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25}{6}$π．

點評 本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．