【題目】鈍角三角形ABC中,∠BAC>90°,∠ACB=α,∠ABC=β,過點A的直線l交BC邊于點D.點E在直線l上,且BC=BE.

(1)若AB=AC,點E在AD延長線上.
當α=30°,點D恰好為BE中點時,補全圖1,直接寫出∠BAE=°,
∠BEA=°;
(2)如圖2,若∠BAE=2α,求∠BEA的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示);
(3)如圖3,若AB<AC,∠BEA的度數(shù)與(1)中②的結(jié)論相同,直接寫出∠BAE,α,β滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】
(1)60;30
(2)

解:如圖2中,延長CA到F,使得BF=BC,則BF=BE=BC,連接BF,作BM⊥AF于M,BN⊥AE于N.

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠C=α,

∴∠MAB=2α,∵∠BAN=2α,

∴∠BAM=∠BAN,

∴BM=BN,

在Rt△BMF和Rt△BNE中,

,

∴Rt△BMF≌Rt△BNE.

∴∠BEA=∠F,

∵BF=BC,

∴∠F=∠C=α,

∴∠BEA=α


(3)

解:結(jié)論:∠BAE=α+β.理由如下,

如圖3中,連接EC,

∵∠ACD=∠BED=α,∠ADC=∠BDE,

∴△ADC∽△BDE,

= ,

= ,∵∠ADB=∠CDE,

∴△ADB∽△CDE,

∴∠BAD=∠DCE,

∠ABD=∠DEC=β,

∵BC=BE,

∴∠BCE=∠BEC,

∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β


【解析】解:(1)補全圖1,如圖所示.

∵AB=AC,BD=DC,
∴AE⊥BC,
∴EB=EC,∠ADB=90°,
∵∠ABC=30°,
∴∠BAE=60°
∵BC=BE,
∴△BCE是等邊三角形,∠DEB=∠DEC,
∴∠BEC=60°,∠BEA=30°
故答案為60,30.
(1)只要證明AE⊥BC,△BCE是等邊三角形即可解決問題.(2)如圖2中,延長CA到F,使得BF=BC,則BF=BE=BC,連接BF,作BM⊥AF于M,BN⊥AE于N.
只要證明Rt△BMF≌Rt△BNE,推出∠BEA=∠F,由BF=BC,推出∠F=∠C=α,推出∠BEA=α即可.(3)如圖3中,連接EC,由△ADC∽△BDE,推出 = ,推出 = ,由∠ADB=∠CDE,推出△ADB∽△CDE,推出∠BAD=∠DCE,∠ABD=∠DEC=β,由BC=BE,推出∠BCE=∠BEC,推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β.

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