Question

10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)CE=12，CF=10時(shí)，求CO的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等角對(duì)等邊，得出OE=OC，OF=OC，再根據(jù)等量代換，得出OE=OF；
（2）先根據(jù)角平分線的定義，求得∠ECF=90°，再根據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng)，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求得CO的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形矩形判定即可．

解答 解：（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF；
（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{61}$，
又∵OE=OF，
∴CO=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{61}$；
（3）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
證明：∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
由（2）可得∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)注意：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．