Question

2．如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，設(shè)AM=a，MN=x，BN=b，請(qǐng)判斷以x，a，b為邊長(zhǎng)的三角形的形狀．

Answer 1

分析 把△ACM繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線上的a、x、b集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

解答 解：把△ACM繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CBD，連接DN，
∵△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
在△MNC與△DNC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CM=CD}\\{∠MCN=∠NCD}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MNC≌△DNC（SAS），
∴MN=ND，AM=BD=m，
又∵∠DBN=45°+45°=90°，
∴以x、a、b為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大，注意掌握旋下列情形常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換：（1）圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；（2）圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形；（3）圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．