Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△FGH的一個(gè)頂點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上，射線FO平分∠GFH，過(guò)點(diǎn)H的直線MN交x軸于點(diǎn)M，滿足∠MHF=∠GHN，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥MN交x軸于點(diǎn)P，請(qǐng)?zhí)骄俊螹PH與∠G的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要證明思路．

Answer 1

分析 先根據(jù)EH平分∠GHF，F(xiàn)E平分∠GFH，求得△FEH中，∠FEF=90°+$\frac{1}{2}$∠G，再根據(jù)∠FEH是△EOP的外角，求得∠FEH=90°+∠MPH，最后得出結(jié)論∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

解答 解：∠MPH與∠G的數(shù)量關(guān)系為∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．
證明：如圖，∵∠MHF=∠GHN，HP⊥MN，
∴∠FHE=∠GHE，即EH平分∠GHF，
又∵FE平分∠GFH，
∴△FEH中，
∠FEF=180°-∠EHF-∠EFH
=180°-$\frac{1}{2}$（∠GHF-∠GFH）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠G）
=90°+$\frac{1}{2}$∠G，
∵∠FEH是△EOP的外角，
∴∠FEH=∠EOP+∠MPH=90°+∠MPH，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠G=90°+∠MPH，
即∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．探究角度之間的數(shù)量關(guān)系，多用外角的性質(zhì)．