【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(0,2),△AOB為等邊三角形,P是x軸上一個動點(不與原點O重合),以線段AP為一邊在其右側作等邊三角形APQ.
(1)求點B的坐標.
(2)在點P運動過程中,∠ABQ的大小是否發(fā)生改變?若不改變,求出其大小;若改變,請說明理由.
(3)連接OQ,當OQ∥AB時,求點P的坐標.
【答案】(1) 點B的坐標為(,1);(2)∠ABQ的大小始終不變,∠ABQ=90°;(3) P的坐標為(-,0)
【解析】
(1)過點B作BC⊥x軸于點C,根據(jù)等邊三角形的性質可得∠AOB=60°,BO=OA=2,從而求出∠BOC=30°,然后根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出BC和OC,從而求出點B的坐標;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質可得AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB=60°,從而證出∠PAO=∠QAB,然后利用SAS證出△APO≌△AQB,從而得出∠ABQ=∠AOP=90°;
(3)根據(jù)題意,畫出圖形,然后根據(jù)平行線的性質可得∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°,從而求出∠OBQ=30°,然后根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出OQ和BQ,再根據(jù)(2)中全等可得OP=BQ,從而求出點P的坐標.
解:(1)如圖①,過點B作BC⊥x軸于點C.
∵△AOB為等邊三角形,且OA=2,
∴∠AOB=60°,BO=OA=2.
∴∠BOC=30°.
又∵∠OCB=90°,
∴BC=OB=1,OC=.
∴點B的坐標為(,1).
(2)∠ABQ的大小始終不變.
∵△APQ,△AOB均為等邊三角形,
∴AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB=60°.
∴∠PAO=∠QAB.
在△APO與△AQB中,
∴△APO≌△AQB(SAS).
∴∠ABQ=∠AOP=90°.
(3)如圖②,當OQ∥AB時,點P在x軸的負半軸上,點Q在點B的下方,
∵AB∥OQ,
∴∠BQO=180°-∠ABQ=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
∴∠OBQ=30°.
又OB=OA=2,
∴OQ=OB=1,BQ=,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=.
∴此時點P的坐標為(-,0).
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【題目】在三個不透明的布袋中分別放入一些除顏色不同外其他都相同的玻璃球,并攪勻,具體情況如下表:
在下列事件中,哪些是隨機事件,哪些是必然事件,哪些是不可能事件?
(1) 隨機從第一個布袋中摸出一個玻璃球,該球是黃色、綠色或紅色的;
(2) 隨機的從第二個布袋中摸出兩個玻璃球,兩個球中至少有一個不是綠色的;
(3) 隨機的從第三個布袋中摸出一個玻璃球,該球是紅色的;
(4)隨機的從第一個布袋中和第二個布袋中各摸出一個玻璃球,兩個球的顏色一致.
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【題目】滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是()
A. BC=1,AC=2,AB=
B. BC=1,AC=2,AB=
C. BC:AC:AB=3:4:5
D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
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【題目】如圖,點E是正方形ABCD的對角線BD上一點,并且AD=DE,過點E作EF⊥BD交AB于點F.
(1)求證:AF=BE,(2)若正方形的邊長為1,求BF的長度.
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【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D,∠ADC=125°,求∠ACB和∠BAC的度數(shù).
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【題目】如圖,BP是∠ABC的平分線,AP⊥BP于P,連接PC,若△ABC的面積為1cm2則△PBC的面積為( ).
A. 0.4 cm2B. 0.5 cm2
C. 0.6 cm2D. 不能確定
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,D是AB上一點,E是BC延長線上一點,AD=CE,DE交AC于點F.
(1)求證:DF=EF;
(2)過點D作DH⊥AC于點H,求.
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【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為 1 個單位的正方形,Rt△ ABC 的頂點均在個點上,在建立平面直角坐標系后,點 A 的坐標為(﹣6,1),點 B 的坐標為(﹣3,1),點 C 的坐標為(﹣3,3).
(1)將 Rt△ABC沿 x 軸正方向平移5個單位得到 Rt△A1B1C1,試在圖上畫出的圖形 Rt△A1B1C1,并寫出點A1的坐標;
(2)將原來的 Rt△ABC 繞點 B 順時針旋轉 90°得到 Rt△A2B2C2,試在圖上畫出Rt△A2B2C2的圖形.
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【題目】笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置,△DOE的直角頂點O在邊BC的中點處,其中∠A=∠DOE=90°.∠B=45°,∠D=60°,△DOE繞點O自由旋轉,且OD,OE分別交AB,AC于點M,N當AN=4,NC=2時,MN的長為_____.
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