【題目】某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動(dòng),愛思考的小實(shí)同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn),兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、圖2、圖3中,AF、BEABC的中線,AFBE于點(diǎn)P,像ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.

1)如圖1,當(dāng)∠PAB45°AB6時(shí),AC   ,BC   ;如圖2,當(dāng)sinPAB,AB4時(shí),AC   ,BC   ;

2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想AB2、BC2AC2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論.

3)如圖4,在ABC中,AB4,BC2D、EF分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn),連結(jié)DE并延長至G,使得GEDE,連結(jié)BG,當(dāng)BGAC于點(diǎn)M時(shí),求GF的長.

【答案】16,6,22;(2AC2+BC25AB2,見解析;(3GF

【解析】

1)如圖1,由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AP=BP=6,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理可得PE=PF=3,利用勾股定理可得ACBC的長;如圖2,根據(jù)特殊三角函數(shù)值可得∠BAP=30°,計(jì)算PBAP的長,同理由中線的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論;
2)設(shè)PF=m,PE=nAP=2m,PB=2n,根據(jù)勾股定理分別列等式,可得結(jié)論;

3)如圖4,作輔助線,證明四邊形EFCG是平行四邊形,得QFG的中點(diǎn),根據(jù)中垂三角形的定義可知:△FCG是中垂三角形,利用(2)中三邊的關(guān)系可得GF的長.

1)解:如圖1,∵AFBE,

∴∠APB=∠APE=∠BPF90°,

∵∠PAB45°AB6,

APPB6,

如圖1,連接EF,

AFBEABC的中線,

EFABC的中位線,

EFAB.且 EFAB,

,

PEPF3

由勾股定理得:AEBF3,

ACBC2AE6

如圖2,∵sinPABAB4,AFBE,

∴∠PAB30°

BPAB2AP2,

AF、BE是△ABC的中線,

PEPB1,PFAP

由勾股定理得:AE,

BF,

AC2AE2BC2BF2,

故答案為:66,22

2)解:猜想:AB2、BC2AC2三者之間的關(guān)系是:AC2+BC25AB2,

證明:如圖3,設(shè) PFm,PEn AP2mPB2n,

RtAPB中,(2m2+2n2AB2①,

RtAPE中,(2m2+n2=(2②,

RtBPF中,m2+2n2=(2③,

由①得:m2+n2,由②+③得:5 m2+n2)=,

AC2+BC25AB2;

3)解:如圖4,連接CGEF,過點(diǎn)FFNBGCG于點(diǎn)N,FGAC交于點(diǎn)Q

FNBG,BGAC,

FNAC,

FBC的中點(diǎn),

NCG的中點(diǎn),

D、E分別是ABAC的中點(diǎn),

DEFCDEFC,

EDEG

EGFC,EGFC,

∴四邊形EFCG是平行四邊形,

QFG的中點(diǎn),

∴△FCG是中垂三角形,

AB4,BC2,

CGEFBD2FC,

由(2)中結(jié)論可知:5FC2CG2+FG2

5×5=(22+FG2,

GF

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小明和小紅要測量小河對岸大樹BC的高度,小紅在點(diǎn)A測得大樹頂端B的仰角為45°,小明從A點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走3米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D,在此處測得樹頂端點(diǎn)B的仰角為31°,且斜坡AF的坡比為12

1)求小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中,他上升的高度;

2)依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出大樹BC的高度?若能,請計(jì)算;若不能,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】1)如圖1,矩形中,點(diǎn)、分別在線段、上,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱,點(diǎn)在線段上,連接、于點(diǎn).求證:四邊形是菱形;

2)如圖2,矩形中,,點(diǎn)、分別在線段、上,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱,點(diǎn)在線段上,,求的長;

3)如圖3,有一塊矩形空地,,點(diǎn)是一個(gè)休息站且在線段上,,點(diǎn)在線段上,現(xiàn)要在點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)處修建一口水井,并且修建水渠,以便于在四邊形空地上種植花草,余下部分貼上地磚.種植花草的四邊形空地的面積是否存在最小值,若存在,請求出最小值,若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校八、九兩個(gè)年級各有學(xué)生180人,為了解這兩個(gè)年級學(xué)生的體質(zhì)健康情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,具體過程如下:

  收集數(shù)據(jù)

從八、九兩個(gè)年級各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測試,測試成績(百分制)如下:

八年級

78

86

74

81

75

76

87

70

75

90

75

79

81

70

74

80

86

69

83

77

九年級

93

73

88

81

72

81

94

83

77

83

80

81

70

81

73

78

82

80

70

40

整理、描述數(shù)據(jù)

將成績按如下分段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

成績(x

40≤x≤49

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

八年級人數(shù)

0

0

1

11

7

1

九年級人數(shù)

1

0

0

7

10

2

(說明:成績80分及以上為體質(zhì)健康優(yōu)秀,7079分為體質(zhì)健康良好,6069分為體質(zhì)健康合格,60分以下為體質(zhì)健康不合格)

  分析數(shù)據(jù)

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表所示:

年級

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

八年級

78.3

77.5

75

33.6

九年級

78

80.5

a

52.1

1)表格中a的值為______

2)請你估計(jì)該校九年級體質(zhì)健康優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為多少?

3)根據(jù)以上信息,你認(rèn)為哪個(gè)年級學(xué)生的體質(zhì)健康情況更好一些?請說明理由.(請從兩個(gè)不同的角度說明推斷的合理性)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在滑草過程中,小明發(fā)現(xiàn)滑道兩邊形如兩條雙曲線,如圖,點(diǎn)A1,A2,A3在反比例函數(shù)yx0)的圖象上,點(diǎn)B1,B2B3反比例函數(shù)yk1,x0)的圖象上,A1B1A2B2y軸,已知點(diǎn)A1,A2的橫坐標(biāo)分別為12,,令四邊形A1B1B2A2、A2B2B3A3、的面積分別為S1、S2、

1)用含k的代數(shù)式表示S1_____

2)若S1939,則k_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD90°,點(diǎn)EBC的延長線上,且∠DEC=∠BAC

1)求證:DE⊙O的切線;

2)若ACDE,當(dāng)AB12,CE3時(shí),求AC的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我們規(guī)定:若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則稱該拋物線為數(shù)軸函數(shù)例如拋物線yx2y=(x12都是數(shù)軸函數(shù)

1)拋物線yx24x4和拋物線yx26x數(shù)軸函數(shù)?請說明理由;

2)若拋物線y2x24mxm216數(shù)軸函數(shù),求該拋物線的表達(dá)式

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是“作以已知線段為斜邊的等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.

已知:線段

求作:以為斜邊的一個(gè)等腰直角三角形

作法:如圖,

(1)分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧相交于,兩點(diǎn);

(2)作直線,交于點(diǎn);

(3)以為圓心,的長為半徑作圓,交直線于點(diǎn);

(4)連接

即為所求作的三角形.

請回答:在上面的作圖過程中,①是直角三角形的依據(jù)是________;②是等腰三角形的依據(jù)是__________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四邊形中,,,對角線,點(diǎn)軸上,軸平行,點(diǎn)軸上.

1)求的度數(shù).

2)點(diǎn)在對角線上,點(diǎn)在四邊形內(nèi)且在點(diǎn)的右邊,連接,已知,,設(shè)

①求的長(用含的代數(shù)式表示);

②若某一反比例函數(shù)圖象同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)、,求的值.

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