Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，點(diǎn)在軸上，與軸平行，點(diǎn)在軸上．

（1）求的度數(shù)．

（2）點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在四邊形內(nèi)且在點(diǎn)的右邊，連接，已知，，設(shè)．

①求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；

②若某一反比例函數(shù)圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，求的值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）① ;②

【解析】

（1）連接AC，首先證明，則有，進(jìn)而可得，再利用勾股定理即可求出BE,DE的長(zhǎng)度，然后利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出的度數(shù)，最后利用即可求解；

（2）連接AQ，取AD的中點(diǎn)F，連接QF，易證均為等邊三角形，然后證明，則有，再證明C,Q,F三點(diǎn)共線，然后求出CF的長(zhǎng)度，最后利用即可求解；

（3）先利用平行線分線段成比例求出Q的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式，將Q的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可求出m的值．

（1）連接AC交BD于點(diǎn)E，

在和中，

．

，

．

，

設(shè) ，

則有，

解得 ．

在中，

，

，

．

（2）①連接AQ，取AD的中點(diǎn)F，連接QF，

∵，，

為等邊三角形，

．

∵，，

為等邊三角形，

，

，

．

，

．

，點(diǎn)F是 AD中點(diǎn)，

．

在和中，

，

．

∵為等邊三角形，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，

，

∴C,Q,F三點(diǎn)共線．

∵，，

，

；

②過(guò)點(diǎn)Q作交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)H,

∵,

．

∵點(diǎn)F是AD中點(diǎn)，

，

．

∵,

，

，

即，

解得，

，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．

,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 ，

將點(diǎn)A代入反比例函數(shù)中，得，

∴反比例函數(shù)的解析式為．

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中，有

，

解得 或（舍去）．