【題目】如圖,已知AE、BD相交于點C,AC=AD,BC=BE,F(xiàn)、G、H分別是DC、CE、AB的中點.求證:

(1)HF=HG;

(2)FHG=DAC.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

(1)連接AF,BG.根據(jù)等腰三角形的三線合一得到直角三角形,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行證明;
(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到FH=BH,則∠HFB=∠FBH,同理∠AGH=∠GAH,則∠D=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH.從而證明結(jié)論.

證明:(1)連接AF,BG,

AC=AD,BC=BE,F(xiàn)、G分別是DC、CE的中點,

AFBD,BGAE.

在直角三角形AFB中,

H是斜邊AB中點,

FH=AB.

同理得HG=AB,

FH=HG.

(2)FH=BH,

∴∠HFB=FBH;

∵∠AHF是△BHF的外角,

∴∠AHF=HFB+FBH=2BFH;

同理∠AGH=GAH,BHG=AGH+GAH=2AGH,

∴∠ADB=ACD=CAB+ABC=BFH+AGH.

又∵∠DAC=180°﹣ADB﹣ACD,

=180°﹣2ADB,

=180°﹣2(BFH+AGH),

=180°﹣2BFH﹣2AGH,

=180°﹣AHF﹣BHG,

而根據(jù)平角的定義可得:∠FHG=180°﹣AHF﹣BHG,

∴∠FHG=DAC.

練習冊系列答案
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