【題目】(11分)如圖1,點(diǎn)A(a,b)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A到坐標(biāo)軸的垂線段AB,AC與坐標(biāo)軸圍成矩形OBAC,當(dāng)這個(gè)矩形的一組鄰邊長(zhǎng)的和與積相等時(shí),點(diǎn)A稱作“垂點(diǎn)”,矩形稱作“垂點(diǎn)矩形”.

(1)在點(diǎn)P(1,2),Q(2,-2),N(,-1)中,是“垂點(diǎn)”的點(diǎn)為 ;

(2)點(diǎn)M(-4,m)是第三象限的“垂點(diǎn)”,直接寫出m的值 ;

(3)如果“垂點(diǎn)矩形”的面積是,且“垂點(diǎn)”位于第二象限,寫出滿足條件的“垂點(diǎn)”的坐標(biāo)

(4)如圖2,平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O是正方形DEFG的對(duì)角線的交點(diǎn),當(dāng)正方形DEFG的邊上存在“垂點(diǎn)”時(shí),GE的最小值為8.

【答案】(1)Q;(2)(3)(-4,),(-,4);(4)8

【解析】

1)根據(jù)垂點(diǎn)的意義直接判斷即可得出結(jié)論;

2)根據(jù)垂點(diǎn)的意義建立方程即可得出結(jié)論

3)根據(jù)垂點(diǎn)的意義和矩形的面積建立方程即可得出結(jié)論;

4)先確定出直線EF的解析式利用垂點(diǎn)的意義建立方程,利用非負(fù)性即可確定出m的范圍,即可得出結(jié)論.

1P1,2),1+2=3,1×2=2,

23∴點(diǎn)P不是垂點(diǎn)”,

Q2,﹣2),2+2=4,2×2=4Q垂點(diǎn)”.

N,﹣1),+1=×1=,

,∴點(diǎn)N不是垂點(diǎn)”,

故答案為:Q

2∵點(diǎn) M(﹣4m)是第三象限的垂點(diǎn)”,4+(﹣m)=4×(﹣m),m=﹣,

故答案為:;

3)設(shè)垂點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),a+b=﹣ab,

垂點(diǎn)矩形的面積為ab=

:﹣a+b=﹣ab=,

解得a=﹣4b=a=﹣,b=4垂點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣4,)或(﹣,4),

故答案為:(﹣4)或(﹣,4),.

4)設(shè)點(diǎn)Em,0)(m0),

∵四邊形EFGH是正方形F0,m),y=﹣x+m.設(shè)邊EF上的垂點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,﹣a+m),a+(﹣a+m)=a(﹣a+m

a2am=﹣m,a2=0,m24m=mm40,

m0,m40,m4,m的最小值為4,EG的最小值為2m=8

故答案為:8

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(2)將該拋物線向下平移m(m>0)個(gè)單位,設(shè)得到的拋物線的頂點(diǎn)為A,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B、C,若△ABC為等邊三角形.
①求m的值;
②設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使四邊形CBDP為菱形?若存在,寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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