Question

【題目】如圖，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F，BE，CF相交于點G．

（1）求證：BE⊥CF；

（2）若AB=a，CF=b，寫出求BE的長的思路．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】（1）由平行四邊形性質(zhì)得AB∥CD， 可得∠ABC+∠BCD=180°，又BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線，所以∠EBC+∠FCB=90°，可得∠BGC=90°；

（2）作EH∥AB交BC于點H，連接AH交BE于點P．證四邊形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分，在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，進而可求BE的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD．

∴∠ABC+∠BCD=180°．

∵BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線，

∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD．

∴∠EBC+∠FCB=90°．

∴∠BGC=90°．

即BE⊥CF．

（2）求解思路如下：

a．如圖，作EH∥AB交BC于點H，連接AH交BE于點P．

b．由BE平分∠ABC，可證AB=AE，進而可證四邊形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；

c．由BE⊥CF，可證AH∥CF，進而可證四邊形AHCF是平行四邊形，可求AP=；

d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，進而可求BE的長．