【題目】如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ.以下五個結論:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④CO平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的結論有__.(把你認為正確的序號都填上)
【答案】①②③④⑤
【解析】
根據等邊三角形的性質及SAS即可證明△ACD≌△BCE即可求解.
①△ABC和△DCE均是等邊三角形,點A,C,E在同一條直線上,
∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE,故本選項正確;
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP,
又∵∠PCQ=∠ACB=60°,CB=AC,
∴△BCQ≌△ACP,
∴CQ=CP,又∠PCQ=60°,
∴△PCQ為等邊三角形,
∴∠QPC=60°=∠ACB,
∴PQ∥AE,故本選項正確;
③∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∴∠ACP=∠BCQ,
∵AC=BC,∠DAC=∠QBC,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴CP=CQ,AP=BQ,故本選項正確;
④∵BC∥DE,
∴∠CBE=∠BED,
∵∠CBE=∠DAE,
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,
同理可得出∠AOE=120°,
∵D,O,C,E四點共圓,
∴∠OCD=∠OED,
∴∠OAC=∠OCD,
∴∠DCE=∠AOC=60°,
∴OC平分∠AOE,故④正確;
⑤∵△ABC、△DCE為正三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB,
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,
∴∠AOB=60°,故本選項正確.
綜上所述,正確的結論是①②③④⑤.
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【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是射線BD上一動點,以AP為邊向右側作等邊△APE,連接CE.
(1)如圖1,當點P在菱形ABCD內部時,則BP與CE的數量關系是 ,CE與AD的位置關系是 .
(2)如圖2,當點P在菱形ABCD外部時,(1)中的結論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖2,連接BE,若AB=2,BE=2,求AP的長.
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【題目】如圖,已知O為坐標原點,點A的坐標為(2,3),⊙A的半徑為1,過A作直線l平行于x軸,點P在l上運動.
(1)當點P運動到圓上時,求線段OP的長.
(2)當點P的坐標為(4,3)時,試判斷直線OP與⊙A的位置關系,并說明理由.
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【題目】某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可銷售20件,每件盈利40元.為了擴大銷售,增加盈利,盡量減少庫存,商場決定采取適當的降價措施.經調查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價5元,商場平均每天可多售出10件.求:
(1)若商場每件襯衫降價4元,則商場每天可盈利多少元?
(2)若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應降價多少元?
(3)要使商場平均每天盈利1600元,可能嗎?請說明理由.
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【題目】已知代數式x+2xy-y;-x-y+2xy;x+xy+y;4x+1+4x.其中能用完全平方公式因式分解的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】已知:如圖,C是AB上一點,點D,E分別在AB兩側,AD∥BE,且AD=BC,BE=AC.
(1)求證:CD=CE;
(2)連接DE,交AB于點F,猜想△BEF的形狀,并給予證明.
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【題目】已知,△ABC在直角坐標系內,三個頂點的坐標分別為A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形網格中每個小正方形的邊長均為一個單位長度).
①畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1 , 點C1的坐標是________;
②以點B為位似中心,在網格內畫出△A2B2C2 , 使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1,點C2的坐標是________;
③若M(a,b)為線段AC上任一點,寫出點M的對應點M2的坐標________.
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【題目】如圖,直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)交于A,B兩點,且點A的橫坐標是-2,點B的橫坐標是3,則以下結論:
①拋物線y=ax2(a≠0)的圖象的頂點一定是原點;
②x>0時,直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)的函數值都隨著x的增大而增大;
③AB的長度可以等于5;
④△OAB有可能成為等邊三角形;
⑤當-3<x<2時,ax2+kx<b,
其中正確的結論是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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