【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn),以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE,連接CE.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在菱形ABCD內(nèi)部時(shí),則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,CE與AD的位置關(guān)系是 .
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在菱形ABCD外部時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)予以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖2,連接BE,若AB=2,BE=2,求AP的長(zhǎng).
【答案】(1)BP=CE,CE⊥AD;(2)結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析;(3)2
【解析】
(1)由菱形ABCD和∠ABC=60°可證△ABC與△ACD是等邊三角形,由等邊△APE可得AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,減去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE,根據(jù)SAS可證得△BAP≌△CAE,故有BP=CE,∠ABP=∠ACE.由菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角可證∠ABP=30°,故∠ACE=30°即CE平分∠ACD,由AC=CD等腰三角形三線合一可得CE⊥AD.
(2)結(jié)論不變.證明過(guò)程同(1).
(3)在Rt△AOP中,求出OA,OP即可解決問(wèn)題.
(1)BP=CE,CE⊥AD.
理由:∵菱形ABCD中,∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等邊三角形
∴AB=AC,AC=CD,∠BAC=∠ACD=60°
∵△APE是等邊三角形
∴AP=AE,∠PAE=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC
即∠BAP=∠CAE,
∴△BAP≌△CAE(SAS)
∴BP=CE,∠ABP=∠ACE
∵BD平分∠ABC
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°
∴CE平分∠ACD
∴CE⊥AD.
故答案為BP=CE,CE⊥AD.
(2)結(jié)論仍然成立.理由如下:如圖,設(shè)CE交AD于H,連接AC.
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,∠ABD=∠CBD=30°.
∵△APE是等邊三角形,
∴AB=AC,AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°.
∴△BAP≌△CAE.
∴BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°.
∵∠CAH=60°,
∴∠CAH+∠ACH=90°.
∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.
(3)如圖,連接BE,
由(2)可知CE⊥AD,BP= CE.
在菱形ABCD中,AD∥BC,∴CE⊥BC.
∵BC=AB=2,BE=2,
在Rt△BCE中,CE==8.
∴BP=CE=8.
∵AC與BD是菱形的對(duì)角線,
∴∠ABD=∠ABC=30°,AC⊥BD.
∴OA=AB=,BO==3,
OP=BP-BO=5,
在Rt△AOP中,AP==2,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形中心在原點(diǎn),且頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā),繞著正方形的邊按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)回到點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.連接,線段、與正方形的邊圍成的面積較小部分的圖形記為.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)若的速度均為1個(gè)單位長(zhǎng)度秒,試判斷在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,的面積是否發(fā)生變化,如果不變求出該值,如果變化說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度秒,點(diǎn)為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,當(dāng)的面積為時(shí),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如下表,方程1、方程2、方程3…是按照一定規(guī)律排列的一列方程。
(1)猜想方程1的解,并將它們的解填在表中的空白處。
序號(hào) | 方程 | 方程的解() |
1 | =_________,=__________ | |
2 | ||
3 | ||
… | …… | …… |
(2)若方程的解是,猜想a,b的值。
(3)請(qǐng)寫(xiě)出這列方程中的第n個(gè)方程和它的解。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2﹣2ax(a>0)的頂點(diǎn)為C,與x軸交于點(diǎn)O、A,關(guān)于x的一次函數(shù)y=﹣ax(a>0).
(1)試說(shuō)明點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上;
(2)若兩個(gè)點(diǎn)(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函數(shù)的圖象上,是否存在整數(shù)k,滿足?如果存在,請(qǐng)求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)E是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn),E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是n,且﹣1≤n≤1,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線,與一次函數(shù)圖象交于點(diǎn)F,當(dāng)0<a≤2時(shí),求線段EF的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,給正五邊形的頂點(diǎn)依次編號(hào) 12345,若從某一頂點(diǎn)開(kāi)始,沿正五邊形的邊順時(shí)針行走,頂點(diǎn)編號(hào)數(shù)字是幾就走幾個(gè)邊長(zhǎng),則稱(chēng) 這種走法為一次移位,如:小宇在編號(hào)為 3 的頂點(diǎn)上時(shí),那么他應(yīng)該走 3 個(gè)邊長(zhǎng),即 3-4-5-1 為第一次移位,這時(shí)他到達(dá)編號(hào)為 1 的頂點(diǎn);然后從 1-2 為第二次移位.若小宇從編號(hào)為 2 的頂點(diǎn)開(kāi)始,第 14 次移位后,則他所處頂點(diǎn)的編號(hào)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,有一座拋物線形拱橋,橋下面在正常水位時(shí),AB寬20 m,水位上升到警戒線CD時(shí),CD到拱橋頂E的距離僅為1 m,這時(shí)水面寬度為10 m.
(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式;
(2)若洪水到來(lái)時(shí),水位以每小時(shí)0.3 m的速度上升,從正常水位開(kāi)始,持續(xù)多少小時(shí)到達(dá)警戒線?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A1,A2,A3,…,An是x軸上的點(diǎn),且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An-1An=1,分別過(guò)點(diǎn)A1,A2,A3,…,An作x軸的垂線交二次函數(shù)y=x2(x>0)的圖象于點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn.若記△OA1P1的面積為S1,過(guò)點(diǎn)P1作P1B1⊥A2P2于點(diǎn)B1,記△P1B1P2的面積為S2,過(guò)點(diǎn)P2作P2B2⊥A3P3于點(diǎn)B2,記△P2B2P3的面積為S3……依次進(jìn)行下去,最后記△Pn-1Bn-1Pn(n>1)的面積為Sn,則Sn=( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小亮房間窗戶的窗簾如圖1所示,它是由兩個(gè)四分之一圓組成(半徑相同)
⑴請(qǐng)用代數(shù)式表示裝飾物的面積:________,用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積是______(結(jié)果保留π)
⑵當(dāng)a=,b=1時(shí),求窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積是多少?(取π≈3 )
⑶小亮又設(shè)計(jì)了如圖2的窗簾(由一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓組成,半徑相同),請(qǐng)你幫他算一算此時(shí)窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積是否更大?如果更大,那么大多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合),在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接PQ.以下五個(gè)結(jié)論:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④CO平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的結(jié)論有__.(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)
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