【題目】如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊),O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥x軸交直線BC于點(diǎn)E.點(diǎn)P為∠CAB角平分線上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)Q;點(diǎn)F是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)線段DE的長度最大時(shí),求DF+FQ+PQ的最小值.
(2)如圖2,將△BOC沿BC邊所在直線翻折,得到△BOC′,點(diǎn)M為直線BO′上一動(dòng)點(diǎn),將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<180°)得到△A′OC′,當(dāng)直線A′C′,直線BO′,直線OM圍成的圖形是等腰直角三角形時(shí),直接寫出該等腰直角三角形的面積.
【答案】(1);(2)圍成的三角形面積為:.
【解析】
(1)求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得AC長度與直線BC解析式,設(shè)D(a,),知E()、DE=a﹣,然后求出a其最大值,即可求出DE的最大值,此時(shí)可求出D的坐標(biāo).再證AQ=PQ,得=,將射線AB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到直線AM,過點(diǎn)D作AM的垂線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)Q′,則.當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí),有=DM,過D作DN⊥x軸于點(diǎn)N,可得△AQ′M與△DQ′N相似,然后求出各個(gè)線段的長即可;
(2)分六種情況進(jìn)行討論,然后求出每一種情況下利用切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求出等腰直角三角形的腰長,利用直角三角形的性質(zhì)可得答案.
(1)如圖1,
當(dāng)x=0時(shí),y=3.
當(dāng)y=0時(shí),.
∴,,
∴AC⊥BC,且∠ABC=30°,AC=,且
設(shè)D(a,),則E()
∴DE=a﹣
∴當(dāng)a=﹣時(shí),DE最大.此時(shí)D()
∵AP平分∠CAB,
∴∠PAB=∠CAB=30°,
∵PQ⊥BC,
∴∠PQB=60°,
∴∠P=∠PQB﹣∠PAB=60°﹣30°=30°=∠PAB,
∵PQ⊥BC,
∴PQB=60°,
∴AQ=PQ,
∴=,
將射線AB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到直線AM,過點(diǎn)D作AM的垂線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)Q′,則.
當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí),有=DM,
過D作DN⊥x軸于點(diǎn)N,可得△AQ′M與△DQ′N相似,
DN=Dy=,AN=
∴Q′N=,DQ′=,AQ′=AN﹣Q′N=
∴Q′M=,
∴DM=DQ′+Q′M=
=DM=.
(2)第一種情況:如圖2,
NH=r=,QH==,OQ=2r=3,
QN=QH﹣NH=,QB=3,QP=,
PN=PQ﹣QN=6,S1=18.
第二種情況,如圖3,
QH=,HN=r=,
QB=3+3,QP=,
PN=PQ﹣QH﹣HN=3,;
第三種情況,如圖4,
ON=,OM=,
MQ=OM﹣r=,
第四種情況,如圖5,
OB=,OM=,ON=,MN=OM﹣0N=,
.
第五種情況,如圖6,
MN=BN=OBsin15°=
ON=OBcos15°=,
OM=ON+MN=,HM=OM﹣r=,
;
第六種情況,如圖7,
OM=,ON=,MN=OM﹣ON=,
;
綜上所述,圍成的三角形面積為:;.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計(jì),盆景的平均每盆利潤是160元,花卉的平均每盆利潤是19元,調(diào)研發(fā)現(xiàn):
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.
小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1,W2(單位:元)
(1)用含x的代數(shù)式分別表示W1,W2;
(2)當(dāng)x取何值時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大,最大總利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙O中,AC為直徑,MA、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B.
(Ⅰ)如圖①,若∠BAC=250,求∠AMB的大。
(Ⅱ)如圖②,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,若BD=MA,求∠AMB的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的邊AC為直徑的O恰為△ABC的外接圓,∠ABC的平分線交O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AB=4,BC=2,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn),且AD平分∠BAC,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BE=CF;
(2)若∠B=40°,求∠ADF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】八年級一班開展了“讀一本好書”的活動(dòng),班委會(huì)對學(xué)生閱讀書籍的情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷設(shè)置了“小說”、“戲劇”、“散文”、“其他”四個(gè)類別,每位同學(xué)僅選一項(xiàng),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:
類別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
小說 | 0.5 | |
戲劇 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合計(jì) | m | 1 |
(1)計(jì)算m= ;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“其他”類所占的百分比為 ;
(3)在調(diào)查問卷中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)選擇了“戲劇”類,現(xiàn)從中任意選出2名同學(xué)參加學(xué)校的戲劇社團(tuán),請用畫樹狀圖或列表的方法,求選取的2人恰好是乙和丙的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),DA⊥AC,tan∠BAD=,AB=,則BC的長度為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一艘在南北航線上的測量船,于A點(diǎn)處測得海島B在點(diǎn)A的南偏東30°方向,繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí),測得海島B在C點(diǎn)的北偏東15°方向,那么海島B離此航線的最近距離是(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)(參考數(shù)據(jù):)( )
A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AE,CF分別是∠BAD和∠BCD的平分線,添加一個(gè)條件,仍無法判斷四邊形AECF為菱形的是( )
A. AE=AFB. EF⊥ACC. ∠B=60°D. AC是∠EAF的平分線
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