Question

【題目】如圖，已知PA、PB切⊙O于A，B兩點，連AB，且PA，PB的長是方程x2﹣2mx+3=0的兩根，AB=m．試求：

（1）⊙O的半徑；
（2）由PA，PB， 圍成圖形（即陰影部分）的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連OA，OB，

∵PA=PB，

∴△=（﹣2m）2﹣4×3=0，

∴m2=3，m＞0，

∴m= ，

∴x2﹣2 x+3=0，

∴x1=x2= ，

∴PA=PB=AB= ，

∴△ABP等邊三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠APO=30°，

∵PA= ，

∴OA=1

（2）解：∵∠AOP=60°，

∴∠AOB=120°，

S陰=S四邊形OAPB﹣S扇形OAB

=2S△AOP﹣S扇形OAB

=2× ×1× ﹣ ，

= ﹣ π．

【解析】（1）由已知易證PA=PA，而PA、PB是一元二次方程的兩個根，可知一元二次方程由兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)b2-4ac=0,建立方程，即可求出m的值，再證明△ABP等邊三角形，就可求出圓的半徑長。
（2）觀察圖形S陰=2S△AOP﹣S扇形OAB，分別求出△AOP和扇形OAB的面積即可。
【考點精析】掌握公式法和求根公式是解答本題的根本，需要知道要用公式解方程，首先化成一般式．調整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比．確定參數(shù)abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之；根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根．