Question

20．兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD、A′BC′D如圖放置，重疊部分是四邊形BMDN．
（1）試證明四邊形BNDM為菱形；
（2）MN與A′C是什么位置關(guān)系，試證明．

Answer 1

分析 （1）易證四邊形BNDM是平行四邊形；根據(jù)AB=BA′，運(yùn)用AAS可證明Rt△ABM≌Rt△A′BN，得BM=BN．根據(jù)有一鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證；
（2）通過(guò)Rt△BA′N(xiāo)≌Rt△CDN，得到A′N(xiāo)=CN，推出∠A′N(xiāo)G=∠CNG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)論得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD、BA′DE，根據(jù)矩形的對(duì)邊平行，
∴BC∥AD，BE∥DA′，
∴四邊形BNDM是平行四邊形，
∵∠ABM+∠MBN=90°，∠MBN+∠A′BN=90°，
∴∠ABM=∠A′BN．
在△ABM和△A′BN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠A′BN}\\{AB=BA′}\\{∠A=∠BA′N(xiāo)=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△A′BN，（ASA）．
∴BM=BN，
∴四邊形BNDM是菱形；

（2）解：MN垂直平分A′C，
在Rt△BA′N(xiāo)與Rt△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{A′B=CD}\\{BN=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BA′N(xiāo)≌Rt△CDN，
∴A′N(xiāo)=CN，
∵∠BNM=∠DNM，∠A′N(xiāo)G=∠DNM，∠CNG=∠BNM，
∴∠A′N(xiāo)G=∠CNG，
∴MN垂直平分A′C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判斷，菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來(lái)確定．