Question

17．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）且對(duì)稱軸直線x=1，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P和點(diǎn)A，B不重合），過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD交BD于E，連接DP，當(dāng)△DPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MAC的周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式y(tǒng)=ax²+bx-4即可；
（2）如圖1，作EF⊥x軸于F，求出AD解析式，可得到PE解析式為y=-x+g，設(shè)E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，PE解析式為y=-x+3t-8，求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-8，0），列出S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48即可求解；
（3）如圖2，由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC交對(duì)稱軸于M，則此時(shí)△MAC的周長(zhǎng)最小，求得直線BC 的解析式為y=x-4，把x=1代入y=x-4得y=-3，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）且對(duì)稱軸直線x=1，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{16a+4b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
（2）如圖1，作EF⊥x軸于F，將點(diǎn)D（2，m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-4得，m=-4，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4），
設(shè)AD解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），D（2，-4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
函數(shù)AD解析式為y=-x-2．
∵PE∥AD，
∴PE解析式為y=-x+g．
設(shè)BD解析式為y=mx+n，
把B（4，0），D（2，-4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=-4}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-8}\end{array}\right.$，
函數(shù)BD解析式為y=2x-8．
則可設(shè)E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，
PE解析式為y=-x+3t-8，
當(dāng)y=0時(shí)，x=3t-8，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-8，0），
S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48，
當(dāng)t=-$\frac{36}{2×（-6）}$=3時(shí)，S_△DPE的面積最大，
此時(shí)，3t-8=3×3-8=1，
得P（1，0）．
（3）存在，
如圖2，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴連接BC交對(duì)稱軸于M，
則此時(shí)△MAC的周長(zhǎng)最小，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴直線BC 的解析式為y=x-4，
∵點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴把x=1代入y=x-4得y=-3，
∴M（1，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，難度較大，值得關(guān)注．