【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與軸交于點A,正方形ABCD的頂點B在軸上,點D在直線上,且AO=OB,反比例函數(shù)()經(jīng)過點C.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)點P是軸上一動點,當(dāng)的周長最小時,求出P點的坐標;
(3)在(2)的條件下,以點C、D、P為頂點作平行四邊形,直接寫出第四個頂點M的坐標.
【答案】(1)y=x+2,;(2)P(,0);(3)M的坐標為(,2),(,6)或(,﹣2).
【解析】
(1)設(shè)一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸交于點E,連接BD,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)可得出點E的坐標,由點E的坐標利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)解析式,由BD∥OA,OE=OB可求出BD的長,進而可得出點D的坐標,由正方形的性質(zhì)可求出點C的坐標,再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出反比例函數(shù)解析式;
(2)作點D關(guān)于x軸的對稱點D',連接CD'交x軸于點P,此時△PCD的周長取最小值,由點D的坐標可得出點D'的坐標,由點C,D'的坐標,利用待定系數(shù)法可求出直線CD'的解析式,再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標;
(3)設(shè)點M的坐標為(x,y),分DP為對角線、CD為對角線及CP為對角線三種情況,利用平行四邊形的性質(zhì)(對角線互相平分)可求出點M的坐標,此題得解.
(1)設(shè)一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸交于點E,連接BD,如圖1所示.
當(dāng)x=0時,y=kx+2=2,∴OA=2.
∵四邊形ABCD為正方形,OA=OB,∴∠BAE=90°,∠OAB=∠OBA=45°,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴OE=OA=2,點E的坐標為(﹣2,0).
將E(﹣2,0)代入y=kx+2,得:﹣2k+2=0,解得:k=1,∴一次函數(shù)的解析式為y=x+2.
∵∠OBD=∠ABD+∠OBA=90°,∴BD∥OA.
∵OE=OB=2,∴BD=2OA=4,∴點D的坐標為(2,4).
∵四邊形ABCD為正方形,∴點C的坐標為(2+2﹣0,0+4﹣2),即(4,2).
∵反比例函數(shù)y(x>0)經(jīng)過點C,∴n=4×2=8,∴反比例函數(shù)解析式為y.
(2)作點D關(guān)于x軸的對稱點D',連接CD'交x軸于點P,此時△PCD的周長取最小值,如圖2所示.
∵點D的坐標為(2,4),∴點D'的坐標為(2,﹣4).
設(shè)直線CD'的解析式為y=ax+b(a≠0),將C(4,2),D'(2,﹣4)代入y=ax+b,得:,解得:,∴直線CD'的解析式為y=3x﹣10.
當(dāng)y=0時,3x﹣10=0,解得:x,∴當(dāng)△PCD的周長最小時,P點的坐標為(,0).
(3)設(shè)點M的坐標為(x,y),分三種情況考慮,如圖3所示.
①當(dāng)DP為對角線時,,解得:,∴點M1的坐標為(,2);
②當(dāng)CD為對角線時,,解得:,∴點M2的坐標為(,6);
③當(dāng)CP為對角線時,,解得:,∴點M3的坐標為(,﹣2).
綜上所述:以點C、D、P為頂點作平行四邊形,第四個頂點M的坐標為(,2),(,6)或(,﹣2).
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AC為對角線,E為AB上一點,過點E作EF∥AD,與AC,DC分別交于點G,F(xiàn),H為CG的中點,連接DE,EH,DH,F(xiàn)H.下列結(jié)論中結(jié)論正確的有( )
①EG=DF;
②∠AEH+∠ADH=180°;
③△EHF≌△DHC;
④若,則S△EDH=13S△CFH .
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,點G是EF的中點,連接CG、BG、BD、DG,下列結(jié)論:① BC=DF,②∠DGF=135o;③BG⊥DG,④ 若3AD=4AB,則4S△BDG=25S△DGF;正確的是____________(只填番號).
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【題目】某校八年級師生為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召,在今年3月的植樹月活動中到某荒山植樹,如圖是抽查了其中20名師生植樹棵數(shù)的統(tǒng)計圖.
(1)求這20名師生種樹棵數(shù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);
(2)如果該校八年級共有師生500名,所植樹的存活率是90%,估計所植的樹共有多少棵存活?
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足為F,分別過點B作直線BE∥AD,過點A作直線EA⊥AC于點A,兩直線交于點E.
(1)求證:四邊形AEBD是平行四邊形;
(2)如果∠ABE=∠ABD=60°,AD=2,求AC的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE⊥AD,BE交AD的延長線于點E,點F在AB上,且EF∥AC.求證:點F是AB的中點.
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【題目】已知△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是( 。
A. b2﹣c2=a2B. a:b:c=3:4:5
C. ∠A:∠B:∠C=9:12:15D. ∠C=∠A﹣∠B
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【題目】已知直線與⊙O,AB是⊙O的直徑,AD⊥于點D.
(1)如圖①,當(dāng)直線與⊙O相切于點C時,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;
(2)如圖②,當(dāng)直線與⊙O相交于點E、F時,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.
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【題目】教室里放有一臺飲水機(如圖),飲水機上有兩個放水管.課間同學(xué)們依次到飲水機前用茶杯接水.假設(shè)接水過程中水不發(fā)生潑灑,每個同學(xué)所接的水量都是相等的.兩個放水管同時打開時,它們的流量相同.放水時先打開一個水管,過一會兒,再打開第二個水管,放水過程中閥門一直開著.飲水機的存水量y(升)與放水時間x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系如圖所示:
(1)求出飲水機的存水量y(升)與放水時間x(分鐘)(x≥2)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果打開第一個水管后,2分鐘時恰好有4個同學(xué)接水結(jié)束,則前22個同學(xué)接水結(jié)束共需要幾分鐘?
(3)按(2)的放法,求出在課間10分鐘內(nèi)班級中最多有多少個同學(xué)能及時接完水?
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