【題目】數(shù)學(xué)概念

若點(diǎn)的內(nèi)部,且、中有兩個(gè)角相等,則稱等角點(diǎn),特別地,若這三個(gè)角都相等,則稱強(qiáng)等角點(diǎn)”.

理解概念

1)若點(diǎn)的等角點(diǎn),且,則的度數(shù)是 .

2)已知點(diǎn)的外部,且與點(diǎn)的異側(cè),并滿足,作的外接圓,連接,交圓于點(diǎn).當(dāng)的邊滿足下面的條件時(shí),求證:的等角點(diǎn).(要求:只選擇其中一道題進(jìn)行證明。

①如圖①,

②如圖②,

深入思考

3)如圖③,在中,、均小于,用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).(不寫作法,保留作圖痕跡)

4)下列關(guān)于等角點(diǎn)、強(qiáng)等角點(diǎn)的說法:

①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn);

②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn);

③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn);

④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn),則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;

⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn),則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn),其中正確的有 .(填序號(hào))

【答案】(1)100130160;(2)選擇,理由見解析;(3)見解析;(4③⑤

【解析】

1)根據(jù)等角點(diǎn)的定義,分類討論即可;

2)①根據(jù)在同圓中,弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等即可證明;

②弧和弦的關(guān)系和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

3)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等作圖即可;

4)根據(jù)等角點(diǎn)強(qiáng)等角點(diǎn)的定義,逐一分析判斷即可.

1)(i)若=時(shí),

==100°

ii)若時(shí),

360°-=130°;

iii)若=時(shí),

360°-=160°,

綜上所述:=100°、130°或160°

故答案為:100130160

2)選擇①:

連接

,

的等角點(diǎn).

選擇②

連接

∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,

的等角點(diǎn)

3)作BC的中垂線MN,以C為圓心,BC的長為半徑作弧交MN與點(diǎn)D,連接BD,

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得:BD=CD=BC

∴△BCD為等邊三角形

∴∠BDC=BCD=DBC=60°

CD的垂直平分線交MN于點(diǎn)O

O為圓心OB為半徑作圓,交AD于點(diǎn)Q,圓O即為△BCD的外接圓

∴∠BQC=180°-∠BDC=120°

BD=CD

∴∠BQD=CQD

∴∠BQA=CQA=360°-∠BQC=120°

∴∠BQA=CQA=BQC

如圖,點(diǎn)即為所求.

4③⑤

①如下圖所示,在RtABC中,∠ABC=90°,O為△ABC的內(nèi)心

假設(shè)∠BAC=60°,∠ACB=30°

∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心

∴∠BAO=CAO=BAC=30°,∠ABO=CBO=ABC=45°,∠ACO=BCO=ACB=15°

∴∠AOC=180°-∠CAO-∠ACO=135°,∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=105°,∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°

顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC,故①錯(cuò)誤;

②對于鈍角等腰三角形,它的外心在三角形的外部,不符合等角點(diǎn)的定義,故②錯(cuò)誤;

③正三角形的每個(gè)中心角都為:360°÷3=120°,滿足強(qiáng)等角點(diǎn)的定義,所以正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn),故③正確;

④由(3)可知,點(diǎn)Q為△ABC的強(qiáng)等角,但Q不在BC的中垂線上,故QBQC,故④錯(cuò)誤;

由(3)可知,當(dāng)的三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí),必存在強(qiáng)等角點(diǎn)

如圖④,在三個(gè)內(nèi)角都小于內(nèi)任取一點(diǎn),連接、、,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),連接

∵由旋轉(zhuǎn)得,,

是等邊三角形.

是定點(diǎn),

∴當(dāng)、、四點(diǎn)共線時(shí),最小,即最。

而當(dāng)的強(qiáng)等角點(diǎn)時(shí),

此時(shí)便能保證、、、四點(diǎn)共線,進(jìn)而使最。

故答案為:③⑤.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖1,點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿A→D→B1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,圖2是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí),FBC的面積y(cm2)隨時(shí)間x(s)變化的關(guān)系圖象,則a的值為( 。

A. B. 2 C. D. 2

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【題目】跳繩是大家喜聞樂見的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng),集體跳繩時(shí),需要兩人同頻甩動(dòng)繩子,當(dāng)繩子甩到最高處時(shí),其形狀可近似看作拋物線.如圖是小明和小亮甩繩子到最高處時(shí)的示意圖,兩人拿繩子的手之間的距離為,離地面的高度為,以小明的手所在位置為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系.

1)當(dāng)身高為的小紅站在繩子的正下方,且距小明拿繩子手的右側(cè)處時(shí),繩子剛好通過小紅的頭頂,求繩子所對應(yīng)的拋物線的表達(dá)式;

2)若身高為的小麗也站在繩子的正下方.

①當(dāng)小麗在距小亮拿繩子手的左側(cè)處時(shí),繩子能碰到小麗的頭嗎?請說明理由;

③設(shè)小麗與小亮拿繩子手之間的水平距離為,為保證繩子不碰到小麗的頭頂,求的取值范圍.(參考數(shù)據(jù):3.16

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【題目】已知二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如表:

下列結(jié)論:拋物線的開口向上;拋物線的對稱軸為直線;當(dāng)時(shí),拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是;是拋物線上兩點(diǎn),則;⑥. 其中正確的個(gè)數(shù)是( )

A.B.C.D.

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A.①④B.①③C.③④D.②④

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1)用含t的代數(shù)式表示CP的長度;

2)當(dāng)點(diǎn)S落在BC邊上時(shí),求t的值;

3)當(dāng)正方形PQRSABC的重疊部分不是五邊形時(shí),求St之間的函數(shù)關(guān)系式;

4)連結(jié)CS,當(dāng)直線CSABC兩部分的面積比為12時(shí),直接寫出t的值.

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【題目】某水果經(jīng)銷商到水果種植基地采購葡萄,經(jīng)銷商一次性采購葡萄的采購單價(jià)(元/千克)與采購量(千克)之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖中折線所示(不包括端點(diǎn).

1)當(dāng)時(shí),寫出之間的函數(shù)關(guān)系式;

2)葡萄的種植成本為8/千克,某經(jīng)銷商一次性采購葡萄的采購量不超過1000千克,當(dāng)采購量是多少時(shí),水果種植基地獲利最大,最大利潤是多少元?

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