【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+1y軸于點A,交x軸正半軸于點B(4,0) ,與過A點的直線相交于另一點D(3,) ,過點DDCx軸,垂足為C

(1)求拋物線的表達式;

(2)點P在線段OC上(不與點O,C重合),過PPNx軸,交直線ADM,交拋物線于點N,連接CM,求△PCM 面積的最大值;

(3)若P x 軸正半軸上的一動點,設(shè)OP 的長為t.是否存在t,使以點M,CD,N 為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2);(3)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)把B(4,0),點D(3, )代入即可得出拋物線的解析式;

(2)先用含t的代數(shù)式表示PM坐標,再根據(jù)三角形的面積公式求出PCM的面積與t的函數(shù)關(guān)系式,然后運用配方法可求出PCM面積的最大值;

(3)若四邊形DCMN為平行四邊形,則有MN=DC,故可得出關(guān)于t的二元一次方程,解方程即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)把點B(4,0),點D(3, ),代入中得, ,解得: ,拋物線的表達式為;

(2)設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,A(0,1),D(3, ),,,直線AD的解析式為,設(shè)Pt,0),Mt, ),PM=,CDx軸,PC=3﹣t,SPCM=PCPM=(3﹣t)(),SPCM==,∴△PCM面積的最大值是;

(3)OP=t,M,N的橫坐標為t,設(shè)Mt, ),Nt ),MN== ,CD=,如果以點MC、DN為頂點的四邊形是平行四邊形,MN=CD,即=∵△=﹣39,方程=無實數(shù)根,不存在t,使以點M、C、DN為頂點的四邊形是平行四邊形.

(3)OP=t,M,N的橫坐標為t,設(shè)Mt ),Nt ),MN== CD=;

如圖1,如果以點M、CD、N為頂點的四邊形是平行四邊形,MN=CD,即=,∵△=﹣39,方程=無實數(shù)根,不存在t

如圖2,如果以點MC、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形,MN=CD,即=,t=(負值舍去),t=時,以點MCD、N為頂點的四邊形是平行四邊形.

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等級

A

B

C

D

人數(shù)

6

10

m

8

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