Question

【題目】矩形紙片ABCD，AB=4，BC=12，E、F分別是AD、BC邊上的點，ED=3．將矩形紙片沿EF折疊，使點C落在AD邊上的點G處，點D落在點H處．

（1）矩形紙片ABCD的面積為

（2）如圖1，連結(jié)EC，四邊形CEGF是什么特殊四邊形，為什么？

（3）M，N是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，MN=1，求四邊形EFMN周長的最小值.（計算結(jié)果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）48；（2）四邊形CEGF是菱形，理由見詳解；（3）四邊形EFMN周長的最小值為.

【解析】

（1）矩形面積=長×寬，即可得到答案，

（2）利用對角線互相垂直平分的四邊形是菱形進行證明，先證對角線相互垂直，再證對角線互相平分．

（3）明確何時四邊形的周長最小，利用對稱、勾股定理、三角形相似，分別求出各條邊長即可．

解：（1）S矩形ABCD=ABBC=12×4=48，

故答案為：48．

（2）四邊形CEGF是菱形，

證明：連接CG交EF于點O，

由折疊得：EF⊥CG，GO=CO，

∵ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OGE=∠OCF，∠GEO=∠CFO

∴△GOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF

∴四邊形CEGF是菱形．

因此，四邊形CEGF是菱形．

（3）作F點關(guān)于點B的對稱點F1，則NF1=NF，

當NF1∥EM時，四邊形EFMN周長最小，

設(shè)EC=x，由（2）得：GE=GF=FC=x，

在Rt△CDE中，∵ED2+DC2=EC2，

∴32+42=EC2，

∴EC=5=GE=FC=GF，

在Rt△GCD中，，

∴OC=GO=，

在Rt△COE中，，

∴EF=2OE=，

當NF1∥EM時，易證△EAM∽△F1BN，

∴，

設(shè)AM=y，則BN=4-1-y=3-y，

∴，解得：，

此時，AM=，BN=，

由勾股定理得：

，

，

∴四邊形EFMN的周長為：

故四邊形EFMN周長的最小值為：.