Question

【題目】如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，當(dāng)點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂徑定理得到O為AB的中點(diǎn)，由G的坐標(biāo)確定出OG的長(zhǎng)，在直角三角形AOG中，利用勾股定理求出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，由CG+GO求出OC的長(zhǎng)，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CO⊥AE，此時(shí)F與O重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，在直角三角形ACO中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACO的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對(duì)圓心角的度數(shù)，再由AC的長(zhǎng)求出半徑，利用弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)．

連接AC，AG．

∵GO⊥AB，∴O為AB的中點(diǎn)，即AO＝BOAB．

∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AO，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC．

∵CF⊥AE，∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CO⊥AE，此時(shí)F與O重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．在Rt△ACO中，tan∠ACO，∴∠ACO＝30°，∴度數(shù)為60°．

∵直徑AC＝2，∴的長(zhǎng)為π，則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)π．

故答案為：π．