Question

12．如圖，已知雙曲線C₁：y=$\frac{1}{x}$、拋物線C₂：y=x²-12，直線l：y=kx+m．
（Ⅰ）若直線l與拋物線C₂有公共點，求$\frac{k^2}{4}$+m的最小值；
（Ⅱ）設(shè)直線l與雙曲線C₁的兩個交點為A、B，與拋物線C₂的兩個交點為C、D．是否存在直線l，使得A、B為線段CD的三等分點？若存在，求出直線l的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直線l與拋物線C₂有公共點，可得x²-kx-m-12=0，根據(jù)根的判別式即可得到$\frac{k^2}{4}$+m的最小值；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），顯然k≠0聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$，得kx²+mx-1=0；聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$，得x²-kx-m-12=0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，A、B為線段CD的三等分點，得到${k^2}+4m+48=9•\frac{{{m^2}+4k}}{k^2}$，解方程得到k的值，進(jìn)一步得到m的值，從而得到直線l的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l與拋物線C₂有公共點，
∴聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$，得x²-kx-m-12=0，
∴△=k²+4m+48≥0，
∴$\frac{k^2}{4}+m≥-12$，
∴$\frac{k^2}{4}+m$的最小值為-12；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），顯然k≠0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$，得kx²+mx-1=0，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{k}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$，得x²-kx-m-12=0，
則x₃+x₄=k，x₃x₄=-m-12，
若A、B為線段CD的三等分點，則線段AB與CD的中點重合，且|CD|=3|AB|，
則$-\frac{m}{k}=k$，即m=-k²，
且|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|，即${k^2}+4m+48=9•\frac{{{m^2}+4k}}{k^2}$，
將m=-k²代入上式并化簡得k³-4k+3=0，
解得k=1或$\frac{{-1±\sqrt{13}}}{2}$，對應(yīng)的m=-1或$\frac{{-7±\sqrt{13}}}{2}$，經(jīng)檢驗均符合題意．
故直線l的解析式為y=x-1或$y=\frac{{-1+\sqrt{13}}}{2}x+\frac{{-7+\sqrt{13}}}{2}$或$y=\frac{{-1-\sqrt{13}}}{2}x+\frac{{-7-\sqrt{13}}}{2}$．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，三等分點的定義等知識點，同時注意方程思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，難度中等．