Question

4．如圖1，拋物線(xiàn)y=mx²-11mx+24m（m＜0）與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．
（1）若點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，且OA=AC，∠BAC=90°，求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)M始終位于拋物線(xiàn)上A，C兩點(diǎn)之間，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)l：x=n，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)N，連接AM，MC，試探究當(dāng)n為何值時(shí)，△AMC的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法可得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E．構(gòu)建相似三角形：△ACE∽△BAE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法來(lái)求二次函數(shù)解析式；
（2）首先求出過(guò)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)的直線(xiàn)AC的解析式，進(jìn)而利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式和二次函數(shù)最值的求法進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵y=mx²-11mx+24m=m（x-3）（x-8），
∴B（3，0），C（8，0）．
∴OC=8．
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵OA=AC，
∴OE=CE=$\frac{1}{2}$OC=4．
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE=1×4，
∴AE=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）．
把點(diǎn)A的坐標(biāo)（4，2）代入拋物線(xiàn)y=mx²-11mx+24m，得m=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{11}{2}$x-12；       

（2）由A（4，2）、C（8，0）易得直線(xiàn)AC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4．
則點(diǎn)N的坐標(biāo)是（n，-$\frac{1}{2}$n+4）．
∵直線(xiàn)x=n與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-12），
∴MN=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-12-（-$\frac{1}{2}$n+4）=-$\frac{1}{2}$n²+6n-16．
∴S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$n²+6n16）×4=-（n-6）²+4≥4．
∴當(dāng)n=6時(shí)，△AMC的面積最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出作出輔助線(xiàn)，推知△ACE∽△BAE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．