Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，將△CEF沿EF翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M．
（1）如圖1，當(dāng)CE=5，M點(diǎn)落在AD邊上時(shí)，求MD的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，將△CEF沿EF折疊，連接BM，若△BME是直角三角形，求此時(shí)CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作EN⊥AD于點(diǎn)N，由矩形的性質(zhì)就可以得出EN=4，AN=3，由勾股定理就可以求出MN的值，進(jìn)而求出結(jié)論；
（2）①如圖2，當(dāng)∠BME=90°時(shí)，由∠EMF=90°，就可以得出B、M、F在同一直線(xiàn)上，由勾股定理就可以求出BF，求出BM，在Rt△BME中由勾股定理就可以求出結(jié)論；如圖3，當(dāng)∠BEM=90°時(shí)，∠MEC=90°就可以得出四邊形ECFM是正方形，直接得出CE的值；

解答 解：（1）如圖1，作EN⊥AD于點(diǎn)N，
∴∠ANE=∠ENM=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，
∴∠A=∠B=∠ANE=90°，
∴AB=NE=4，AN=BE．
∵EC=5，
∴BE=3，
∴AN=3．
∵△EFC與△EFM關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，
∴△EFC≌△EFM，
∴EC=EM=5．
在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，
∴MD=8-3-3=2．
答：MD的長(zhǎng)為2；
（2）①如圖2，當(dāng)∠BME=90°時(shí)，
∵∠EMF=90°，
∴∠BMF=180°，
∴B、M、F在同一直線(xiàn)上．
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=2．
∵△EFC與△EFM關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，
∴△EFC≌△EFM，
∴MF=CF=2，EC=EM．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF=2 $\sqrt{17}$．
∴BM=2 $\sqrt{17}$-2．
設(shè)EC=EM=x，則BE=8-x，
在Rt△BME中，由勾股定理，得（8-x）²-x²=（2 $\sqrt{17}$-2）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{17}-2}{2}$．
∴CE=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$；
如圖3，當(dāng)∠BEM=90°時(shí)，
∴∠MEC=90°
∵△EFC與△EFM關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，
∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，
∴四邊形ECFM是正方形，
∴MF=CE=2．
∴CE=2或 $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用勾股定理求解是關(guān)鍵．