Question

10．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，垂足分別為點(diǎn)D、E．
證明：DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，就可以求出∠BAD=∠ACE，進(jìn)而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE，即可得出結(jié)論；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，進(jìn)而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，而得出∠DFE=60°，就有△DEF為等邊三角形．

解答 解：（1）如圖1，∵BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CEA}\\{∠CAE=∠ABD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）如圖2，∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CEA}\\{∠CAE=∠ABD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵在△DBF≌△EAF，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠DBF=∠FAE}\\{BF=AF}\end{array}\right.$
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．