【題目】請完成下面的幾何探究過程:
(1)觀察填空
如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,點D為斜邊AB上一動點(不與點A,B重合),把線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連DE,BE,則
①∠CBE的度數(shù)為____________;
②當BE=____________時,四邊形CDBE為正方形.
(2)探究證明
如圖2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2AC=4,點D為斜邊AB上一動點(不與點A,B重合),把線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后并延長為原來的兩倍得到線段CE,連DE,BE則:
①在點D的運動過程中,請判斷∠CBE與∠A的大小關系,并證明;
②當CD⊥AB時,求證:四邊形CDBE為矩形
(3)拓展延伸
如圖2,在點D的運動過程中,若△BCD恰好為等腰三角形,請直接寫出此時AD的長.
【答案】(1)①45°,②;(2)①,理由見解析,②見解析;(3)或
【解析】
(1)①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,證明,即可得出結果;
②由①得,求出,作于,則是等腰直角三角形,證出是等腰直角三角形,求出,證出四邊形是矩形,再由垂直平分線的性質(zhì)得出,即可得出結論;
(2)①證明,即可得出;
②由垂直的定義得出,由相似三角形的性質(zhì)得出,即可得出結論;
(3)存在兩種情況:①當時,證出,由勾股定理求出,即可得出結果;
②當時,得出即可.
解:(1)①,,
,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,
在和中,,
,
;
故答案為:;
②當時,四邊形是正方形;理由如下:
由①得:,
,
作于,如圖所示:
則是等腰直角三角形,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
,
又,
四邊形是矩形,
又垂直平分,
,
四邊形是正方形;
故答案為:;
(2)①,理由如下:
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,
,,
,
,
;
②,
,
由①得:,
,
又,
四邊形是矩形;
(3)在點的運動過程中,若恰好為等腰三角形,存在兩種情況:
①當時,則,
,,
,
,
,
,
,
;
②當時,;
綜上所述:若恰好為等腰三角形,此時的長為或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在矩形中,,,是對角線,點在線段上,連結,將沿翻折,使得點的對應點恰好落在上,點在射線上,連接,將沿翻折,使得點的對應點恰好落在所在直線,則線段的長度為( )
A.B.C.D.
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【題目】在一次課題學習中,老師讓同學們合作編題,某學習小組受趙爽弦圖的啟發(fā),編寫了下面這道題,請你來解一解:如圖,將平行四邊形ABCD的四邊DA、AB、BC、CD分別延長至E、F、G、H,使得AE=CG,BF=DH,連接EF,FG,GH,HE.求證:四邊形EFGH為平行四邊形.
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【題目】某校為研究學生的課余愛好情況,采取抽樣調(diào)查的方法,從閱讀、運動、娛樂、上網(wǎng)等四個方面調(diào)查了若干學生的興趣愛好;并將調(diào)查的結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次研究中,一共調(diào)查了______名學生;若該校共有1500名學生,估計全校愛好運動的學生共有______名;
(2)補全條形統(tǒng)計圖,并計算閱讀部分圓心角是______度;
(3)若該校九年級愛好閱讀的學生有150人,估計九年級有多少學生?
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【題目】解方程:
(1)3(2x+1)2=108
(2)3x(x-1)=2-2x
(3)x2-6x+9=(5-2x)2
(4)x(2x-4)=5-8x
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【題目】如圖,正方形中,,為的中點,將沿翻折得到,延長交于,,垂足為,連接、.結論:①;②≌;③∽;④;⑤.其中的正確的個數(shù)是( )
A.2B.3C.4D.5
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【題目】矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為數(shù)___________.
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【題目】如圖所示,拋物線與軸交于兩點,與軸交于點,點的坐標為,點的坐標為,拋物線的對稱軸是直線.
(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式;
(2)是線段上的任意一點,當為等腰三角形時,求點的坐標.
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【題目】4張相同的卡片分別寫有數(shù)字﹣1、﹣3、4、6,將這些卡片的背面朝上,并洗勻.
(1)從中任意抽取1張,抽到的數(shù)字大于0的概率是______;
(2)從中任意抽取1張,并將卡片上的數(shù)字記作二次函數(shù)y=ax2+bx中的a,再從余下的卡片中任意抽取1張,并將卡片上的數(shù)字記作二次函數(shù)y=ax2+bx中的b,利用樹狀圖或表格的方法,求出這個二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸右側的概率.
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