Question

【題目】如圖，在△ABC，BA=BC，以BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E、D，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，且∠ACF=∠ABC,

（1）求證：直線CF是⊙O的切線； （2）若BC=5，sin∠ACF=，求CF的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接BD，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠FCB=90°．

（2）證明△BAG∽△BFC，和解直角三角形即可得到結(jié)論．

解：（1）連接BD,∵BC是圓O的直徑 ∴∠BDC=90度 ∴∠DBC+∠DCB=90度

∵BA=BC ∴∠DBC=∠ABC ∵∠ACF= ∠ABC, ∴∠DBC=∠ACF

∴∠ACF+∠DCB=90度 ∴∠FCB=90度 ∴直線CF是⊙O的切線

(2) 過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CB于點(diǎn)G，

∵sin∠ACF= ，∠DCB=∠ CBF，

∴sin∠DCB=，；

∵∠BDC=90°，BC=5，

∴CD=BC·sin∠DCB= ，

∵BA=BC，∠BDC=90°，

∴AC=2CD=2，

∴AG=4

在Rt△ABG中，可求得GB=3，

∵GA//FC，

∴△BAG∽△BFC，

∴

∴CF=