【題目】如圖,已知直線y=﹣x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線過y=ax2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)PPCx軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.

(1)若拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);

②是否存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形?并說(shuō)明理由;

(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí),是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)① M(1,),N(1,3); ②見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)①把二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式表達(dá)式,即可求解;

②不存在.理由如下:設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(m,-m+4),則D(m,-m2+m+4),PD=-m2+m+4-(-m+4)=-m2+2m,當(dāng)四邊形MNPD為平行四邊形,則:m2+2m=,解得:m=1,則:點(diǎn)P(3,1),由N(1,3),則:PN=≠M(fèi)N,即可求解;

(2)分∠BDP=90°或∠PBD=90°兩種情況,求解即可.

解:(1)y=﹣x2+x+4=﹣(x﹣1)2+

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,),

當(dāng)x=1時(shí),y=﹣1+4=3,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,3);

②不存在.理由如下:

MN=﹣3=,

設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(m,﹣m+4),則D(m,﹣m2+m+4),

PD=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,

PDMN.

∴當(dāng)PD=MN時(shí),四邊形MNPD為平行四邊形,

即﹣m2+2m=,解得:m=13(m=1舍去),

∴點(diǎn)P(3,1),由N(1,3),

PN=≠M(fèi)N,

∴平行四邊形MNPD不是菱形,

即:不存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形;

(2)①當(dāng)∠BDP=90°時(shí),點(diǎn)P(2,2),則四邊形BOCD為矩形,

D(2,4),又A(4,0),B(0,4),

∴拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+x+4;

②當(dāng)∠PBD=90°時(shí),PBD為等腰直角三角形,

PD=2xP=4,

D(2,6),又A(4,0),B(0,4),

A、B、D坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:,解得:

故:二次函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+3x+4.

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(參考數(shù)據(jù):,,,,

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①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;

a﹣b+c<0;

b2﹣4ac<0;

④當(dāng)y>0時(shí),﹣1<x<3,其中正確的個(gè)數(shù)是( 。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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A. 22個(gè)、20個(gè) B. 22個(gè)、21個(gè) C. 20個(gè)、21個(gè) D. 20個(gè)、22個(gè)

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