【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O在對角線AC上,以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F,且∠ACB=∠DCE.

(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)若tan∠ACB=,BC=2,求⊙O的半徑.

【答案】(1)直線CE與⊙O相切;(2)

【解析】

試題分析:(1)連接OE.欲證直線CE與⊙O相切,只需證明∠CEO=90°,即OE⊥CE即可;

(2)在直角三角形ABC中,根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得AB=,然后根據(jù)勾股定理求得AC=,同理知DE=1;

方法一、在Rt△COE中,利用勾股定理列出關(guān)于r的方程,從而易得r的值;

方法二、過點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M,在Rt△AMO中,根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得r的值.

試題解析:(1)直線CE與⊙O相切.理由如下:

∵四邊形ABCD是矩形,∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC;又∵∠ACB=∠DCE,∴∠DAC=∠DCE;連接OE,則∠DAC=∠AEO=∠DCE;∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AE0+∠DEC=90°,∴∠OEC=90°,即OE⊥CE.

又OE是⊙O的半徑,∴直線CE與⊙O相切.

(2)∵tan∠ACB==,BC=2,∴AB=BCtan∠ACB=,∴AC=;又∵∠ACB=∠DCE,∴tan∠DCE=tan∠ACB=,∴DE=DCtan∠DCE=1;

方法一:在Rt△CDE中,CE==,連接OE,設(shè)⊙O的半徑為r,則在Rt△COE中,,即解得:r=;

方法二:AE=AD﹣DE=1,過點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M,則AM=AE=,在Rt△AMO中,OA===.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】【問題情境】一節(jié)數(shù)學(xué)課后,老師布置了一道課后練習(xí)題:

如圖:已知在RtABC中,AC=BC,ACB=90°,CDAB于點(diǎn)D,點(diǎn)E、F分別在A和BC上,1=2,F(xiàn)GAB于點(diǎn)G,求證:CDE≌△EGF.

(1)閱讀理解,完成解答

本題證明的思路可用下列框圖表示:

根據(jù)上述思路,請你完整地書寫這道練習(xí)題的證明過程;

(2)特殊位置,證明結(jié)論

若CE平分ACD,其余條件不變,求證:AE=BF;

(3)知識遷移,探究發(fā)現(xiàn)

如圖,已知在RtABC中,AC=BC,ACB=90°,CDAB于點(diǎn)D,若點(diǎn)E是DB的中點(diǎn),點(diǎn)F在直線CB上且滿足EC=EF,請直接寫出AE與BF的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)

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【題目】如圖,在離水面高度AC為2米的岸上有人用繩子拉船靠岸,開始時(shí)繩子與水面的夾角為30°,此人以每秒05米的速度收繩子

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【題目】課題學(xué)習(xí)

問題背景1 甲、乙、丙三名同學(xué)探索課本上一道題:如圖1,E是邊長為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn),以點(diǎn)A為中心,把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

(1)①在圖1中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;②圖1中,與線段AE垂直的線段是 ,說明你的理由;

問題背景2 在正方形ABCD中,∠EAF=45°,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn),點(diǎn)E為DC上一點(diǎn),∠EAF的兩邊AE、AF分別與直線BD交于點(diǎn)M、N.連接EF。繼續(xù)探索時(shí),

甲發(fā)現(xiàn):線段BF,EF,DE之間存在著關(guān)系式EF=BF+DE;

乙發(fā)現(xiàn):△CEF的周長是一個(gè)恒定不變的值;

丙發(fā)現(xiàn):線段BN,MN,DM之間存在著關(guān)系式BN2+DM2=MN2

(2)請你對甲、乙、兩三人中一個(gè)結(jié)論進(jìn)行研究,作出判斷,并說明你的理由。

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【題目】a<b,則下列各式中,錯(cuò)誤的是( 。

A. a﹣3<b﹣3 B. 3﹣a<3﹣b C. ﹣3a>﹣3b D. 3a<3b

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【題目】如圖,在ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,ABC的平分線交AD于點(diǎn)F.

(1)求證:四邊形ABEF是菱形;

(2)若AB=5,BF=8,AD=,則ABCD的面積是______.

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【題目】如圖,在ABCD中,BC=2AB=4,點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn).

(1)求證:ABE≌△CDF;

(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí),求出該菱形的面積.

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