【題目】課題學(xué)習(xí)
問(wèn)題背景1 甲、乙、丙三名同學(xué)探索課本上一道題:如圖1,E是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn),以點(diǎn)A為中心,把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,
(1)①在圖1中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形;②圖1中,與線段AE垂直的線段是 ,說(shuō)明你的理由;
問(wèn)題背景2 在正方形ABCD中,∠EAF=45°,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn),點(diǎn)E為DC上一點(diǎn),∠EAF的兩邊AE、AF分別與直線BD交于點(diǎn)M、N.連接EF。繼續(xù)探索時(shí),
甲發(fā)現(xiàn):線段BF,EF,DE之間存在著關(guān)系式EF=BF+DE;
乙發(fā)現(xiàn):△CEF的周長(zhǎng)是一個(gè)恒定不變的值;
丙發(fā)現(xiàn):線段BN,MN,DM之間存在著關(guān)系式BN2+DM2=MN2
(2)請(qǐng)你對(duì)甲、乙、兩三人中一個(gè)結(jié)論進(jìn)行研究,作出判斷,并說(shuō)明你的理由。
【答案】(1) ①作圖見(jiàn)解析;②AK⊥AE,理由見(jiàn)解析;(2) 甲、乙、丙三名同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的.理由見(jiàn)解析.
【解析】試題分析: (1)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后所構(gòu)成的兩圖形全等畫(huà)出圖形即可;
(2)①選擇甲,延長(zhǎng)CB到K,使BK=DE,連AK,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED,可得出∠KAF=∠FAE,進(jìn)而可得出△AKF≌△AEF,由全等三角形的性質(zhì)及BK=DE可得出EF=BF+DE;
②選擇乙,延長(zhǎng)CB到K,使BK=DE,連AK,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED,由全等三角形的性質(zhì)可得到△AKF≌△AEF,再根據(jù)BK=DE即可得出△CEF周長(zhǎng)為定值;
③選擇丙,在AK上截取AG=AM,連接BG,GN,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABG≌△ADM,△GAN≌△NAM,再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2.
試題解析:
畫(huà)圖如圖1,
延長(zhǎng)CB至K,使BK=DE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90,
∴△ADE≌△ABK,
∴∠DAE=∠BAK,
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90,
∴AK⊥AE.
故答案為AK⊥AE.
(2)選擇甲發(fā)現(xiàn):
證明:如圖2,
延長(zhǎng)CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED,
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE,AF=AF,
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE,
∴EF=BF+DE
選擇乙發(fā)現(xiàn):
證明:如圖2,
延長(zhǎng)CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE,AF=AF,
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE,
∴EF=BF+DE
△CEF周長(zhǎng)=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)
選擇丙發(fā)現(xiàn):
證明:如圖3,
在AK上截取AG=AM,連接BG,GN.
∵AG=AM,AB=AD,∠KAB=∠EAD,
∴△ABG≌△ADM,
∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°.
又∵∠ABD=45°,
∴∠GBD=90°.
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
又∵AG=AM,AN=AN,
∴△GAN≌△NAM.
∴NG=MN,
∵∠GBD=90°,
∴BG +BN =NG ,
∴BN +DM =MN .
綜上所述:甲、乙、丙三名同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的。
點(diǎn)睛:本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn),通過(guò)旋轉(zhuǎn),利用全等三角形,發(fā)現(xiàn)邊的關(guān)系,再利用直角三角形的勾股定理找到三條線段的平方關(guān)系,利用構(gòu)造法證明△AKF≌△AEF, △GAN≌△NAM是解答此題的關(guān)鍵.
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