【題目】已知,點(diǎn)A,點(diǎn)B分別在線段MN,PQ上∠ACB﹣∠MAC=∠CBP
(1)如圖1,求證:MN∥PQ;
(2)分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG、CH使AG∥CH,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的直角∠DBI繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),并且∠DBI的兩邊分別與直線CH,AG交于點(diǎn)F和點(diǎn)E,如圖2試判斷∠CFB、∠BEG是之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)在(2)的條件下,若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN,并且∠ACB=60°,求∠CFB的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)∠CFB﹣∠BEG=90°,證明見解析;(3)∠CFB=120°.
【解析】
(1)過C作CE∥MN,根據(jù)平行線判定和性質(zhì)證出CE∥PQ;(2)過B作BR∥AG,根據(jù)平行線判定和性質(zhì)證出∠BEG=90°﹣∠RBF=90°﹣(180°﹣∠CFB);(3)過B作BR∥AG,根據(jù)平行線判定和性質(zhì)證出∠NAE=∠AES,∠QBE=∠EBC,根據(jù)角平分線定義得:∠CAE=∠AES,再證∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠CBE=,∠AEB=150°,∠BEG=30°.
(1)過C作CE∥MN,
∴∠1=∠MAC,
∵∠2=∠ACB﹣∠1,
∴∠2=∠ACB﹣∠MAC,
∵∠ACB﹣∠MAC=∠CBP,
∴∠2=∠CBP,
∴CE∥PQ,
∴MN∥PQ;
(2)過B作BR∥AG,
∵AG∥CH,
∴BR∥HF,
∴∠BEG=∠EBR,∠RBF+∠CFB=180°,
∵∠EBF=90°,
∴∠BEG=∠EBR=90°﹣∠RBF,
∴∠BEG=90°﹣∠RBF=90°﹣(180°﹣∠CFB),
∴∠CFB﹣∠BEG=90°;
(3)過E作ES∥MN,
∵MN∥PQ,
∴ES∥PQ,
∴∠NAE=∠AES,∠QBE=∠EBC,
∵BD和AE分別平分∠CBP和∠CAN,
∴∠NAE=∠EAC,∠CBD=∠DBP,
∴∠CAE=∠AES,
∵∠EBD=90°,
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°,
∴∠QBE=∠EBC,
∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠CBE=,
∵∠ACB=60°,
∴∠AEB=150°,
∴∠BEG=30°,
∵∠CFB﹣∠BEG=90°,
∴∠CFB=120°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),∠BCD=60°,射線AP交BC的延長線于點(diǎn)E,射線BP交DE于點(diǎn)K,點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),作BM⊥AE于點(diǎn)M,作KN⊥AE于點(diǎn)N,連結(jié)MO、NO,以下四個(gè)結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN= ;③BP=4PK;④PMPA=3PD2 , 其中正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y軸于點(diǎn)M.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn),作DE垂直x軸于點(diǎn)E,交線段AM于點(diǎn)F,求線段DF長度的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,作PN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似(不包括全等)?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是∠ABC的平分線,ED∥BC,∠4=∠5,則EF也是∠AED的平分線.完成下列推理過程:
證明:∵BD是∠ABC的平分線(已知)
∴∠1=∠2(角平分線定義)
∵ED∥BC(已知)
∴∠5=∠2( )
∴∠1=∠5(等量代換)
∵∠4=∠5(已知)
∴EF∥ ( )
∴∠3=∠1( )
∴∠3=∠4(等量代換)
∴EF是∠AED的平分線(角平分線定義)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正△ABC的邊長為2,以BC邊上的高AB1為邊作正△AB1C1,△ABC與△AB1C1公共部分的面積記為S1;再以正△AB1C1邊B1C1上的高AB2為邊作正△AB2C2,△AB1C1與△AB2C2公共部分的面積記為S2;…,以此類推,則Sn=____.(用含n的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BC為半圓的直徑,O為圓心,D是弧AC的中點(diǎn),四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)E,BC= ,CD= ,則sin∠AEB的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一塊直角三角板ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將另一個(gè)含30°角的△EDF的30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上,E,F(xiàn)分別在AC,BC上,當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)時(shí),DE始終與AB垂直,若△CEF與△DEF相似,則AD= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC的底角為72°,腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)E,垂足為D,連接BE,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. ∠EBC為36° B. BC = AE
C. 圖中有2個(gè)等腰三角形 D. DE平分∠AEB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,∠AOB、∠COD都是直角.
(1)試判斷∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠BOC=60°,求∠AOD的度數(shù);
(3)猜想∠AOD與∠BOC在數(shù)量上是相等,互余,還是互補(bǔ)的關(guān)系,并說明理由;
(4)當(dāng)∠COD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖(2)所示位置時(shí),你在(3)中的猜想還成立嗎?請用你所學(xué)的知識(shí)加以說明.
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