Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C（0,2），它的頂點(diǎn)為D（1,m），且.

（1）求m的值及拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）將此拋物線(xiàn)向上平移后與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA=OB.若點(diǎn)A是由原拋物線(xiàn)上的點(diǎn)E平移所得，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)（位于x軸上方），且∠APB=45°.求P點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）E（3,-1）（3）

【解析】

（1）作DH⊥y軸,根據(jù)，求出m的值，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸是x＝1，和C,D兩點(diǎn)求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式即可；

（2）設(shè)平移后的拋物線(xiàn)表達(dá)式為，然后得出OA＝OB,得出B（0,2＋k），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2＋k,0），然后代入求出k的值即可；

（3）設(shè)P（1,y），設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與AB的交點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為H，則H（1,0），由（2）得出A,B的坐標(biāo)，然后得出△BMP∽△BPA，然后根據(jù)

解：（1）作DH⊥y軸，垂足為H，∵D（1,m）（），∴DH＝ m，HO＝1.

∵，∴，∴m＝3.

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D（1,3）.

又∵拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C（0,2），

∴（2∴∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為.

（2）∵將此拋物線(xiàn)向上平移，

∴設(shè)平移后的拋物線(xiàn)表達(dá)式為.

則它與y軸交點(diǎn)B（0,2＋k）.

∵平移后的拋物線(xiàn)與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且OA＝OB，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2＋k,0）.

∴.∴.

∵，∴.

∴A（3,0），拋物線(xiàn)向上平移了1個(gè)單位.

∵點(diǎn)A由點(diǎn)E向上平移了1個(gè)單位所得，∴E（3,－1）.

（3）由（2）得A（3,0），B（0, 3），∴.

∵點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)（位于x軸上方），且∠APB＝45°,原頂點(diǎn)D（1,3）,

∴設(shè)P（1,y），設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與AB的交點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為H，則H（1,0）.

∵A（3,0），B（0, 3），∴∠OAB＝45°, ∴∠AMH＝45°.

∴M（1,2）. ∴.

∵∠BMP＝∠AMH, ∴∠BMP＝45°.

∵∠APB＝45°, ∴∠BMP＝∠APB.

∵∠B＝∠B，∴△BMP∽△BPA.

∴.∴

∴.∴（舍）.

∴