Question

【題目】如圖，在直角三角形中，,點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和三角形的外接圓相交于點(diǎn)，連結(jié).

（1）求證：；

（2）過點(diǎn)作的平行線交、的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)、，已知，圓的直徑為，

①求證：為圓的切線；②求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）先判斷出∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，進(jìn)而判斷出∠DHB＝∠DBH，即可得出結(jié)論；

（2））①先判斷出OD∥AC，進(jìn)而判斷出OD⊥EF，即可得出結(jié)論；

②先判斷出△CDE≌△BDG，得出GB＝CE＝1，再判斷出△DBG∽△ABD，求出DB2＝5，即DB＝，DG＝2，進(jìn)而求出AE＝AG＝4，最后判斷出△OFD∽△AFE即可得出結(jié)論．

（1）連結(jié),

∵點(diǎn)為的內(nèi)心，

∴,,

而，

,

又∵，

，

∴.

（2）①連結(jié)，

∵.

∴∥.

∵,∥.

∴，

∴.

∴是圓的切線；

②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，

∴，，，

∴≌，

∴.

在中，，

∴，又，

∴∽,

∴.

∴，，∴

又∵為內(nèi)心，∴，

而∥ ∴∽.

∴.

即 ∴.