【題目】如圖①,AB是⊙O的直徑,CD為弦,且AB⊥CD于E,點(diǎn)M為上一動(dòng)點(diǎn)(不包括A,B兩點(diǎn)),射線AM與射線EC交于點(diǎn)F.
(1)如圖②,當(dāng)F在EC的延長線上時(shí),求證:∠AMD=∠FMC.
(2)已知,BE=2,CD=8.
①求⊙O的半徑;
②若△CMF為等腰三角形,求AM的長(結(jié)果保留根號(hào)).
【答案】(1)詳見解析;(2)5;②8或
【解析】
(1)想辦法證明∠AMD=∠ADC,∠FMC=∠ADC即可解決問題;
(2)①在Rt△OCE中,利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題;
②分兩種情形討論求解即可.
解:(1)證明:如圖②中,連接AC、AD.
∵AB⊥CD,
∴CE=ED,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∵∠AMD=∠ACD,
∴∠AMD=∠ADC,
∵∠FMC+∠AMC=180°,∠AMC+∠ADC=180°,
∴∠FMC=∠ADC,
∴∠FMC=∠ADC,
∴∠FMC=∠AMD.
(2)解:①如圖②﹣1中,連接OC.設(shè)⊙O的半徑為r.
在Rt△OCE中,∵OC2=OE2+EC2,
∴r2=(r﹣2)2+42,
∴r=5.
②∵∠FMC=∠ACD>∠F,
∴只有兩種情形:MF=FC,FM=MC.
如圖③中,當(dāng)FM=FC時(shí),易證明CM∥AD,
∴,
∴AM=CD=8.
如圖④中,當(dāng)MC=MF時(shí),連接MO,延長MO交AD于H.
∵∠MFC=∠MCF=∠MAD,∠FMC=∠AMD,
∴∠ADM=∠MAD,
∴MA=MD,
∴,
∴MH⊥AD,AH=DH,
在Rt△AED中,AD=,
∴AH=,
∵tan∠DAE=,
∴OH=,
∴MH=5+,
在Rt△AMH中,AM=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五一期間,某商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種商品,已知購進(jìn)甲商品1件和乙商品3件共需240元;購進(jìn)甲商品2件和乙商品1件共需130元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場決定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,為滿足市場需求,需購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件,且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍,請(qǐng)你求出獲利最大的進(jìn)貨方案,并確定最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,).
(1)試確定此反比例函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),將線OA繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB,判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)在對(duì)角線AC上,且AE=CF.求證:
(1)DE=BF;
(2)四邊形DEBF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖甲,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使以C,P,M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)0<x<3時(shí),在拋物線上求一點(diǎn)E,使△CBE的面積有最大值(圖乙、丙供畫圖探究).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=kx2(k3)x3在x=0和x=4時(shí)的函數(shù)值相等.
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)畫出該函數(shù)的圖象,并結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)y<0時(shí),自變量x的取值范圍;
(3)已知關(guān)于x的一元二次方程,當(dāng)1≤m≤3時(shí),判斷此方程根的情況.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)的圖象上,AC//BD//y軸,已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為,則k的值為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,直徑AB=10.sinA=,點(diǎn)D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(不運(yùn)動(dòng)至端點(diǎn)A、C),作DF⊥AB于F,連結(jié)BD,井延長BD交⊙O于點(diǎn)H,連結(jié)CF.
(1)當(dāng)DF經(jīng)過圓心O時(shí),求AD的長;
(2)求證:△ACF∽△ABD;
(3)求CFDH的最大值.
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