【題目】如圖,在正方形ABCD中,點PCD邊上一動點,連接PA,分別過點B、DBEPADFPA,垂足分別為EF,如圖①。

1)請?zhí)骄?/span>BE、DFEF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關系?并說明理由。

2)若點PDC的延長線上,如圖②,那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關系?直接寫出結論。

3)若點PCD的延長線上呢,如圖③,直接寫出結論。

【答案】1EF=BE-DF;(2EF=DF-BE;(3EF=BE+DF.

【解析】

1)在圖①中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關系:BE-DF=EF,理由為:由BE垂直于APDF垂直于AP,得到一對直角相等,再由四邊形ABCD為正方形,得到AB=AD,且∠BAD為直角,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用AAS得到三角形ABE與三角形DFA全等,利用全等三角形對應邊相等得到BE=AF,AE=DF,根據(jù)AF-AE=EF,等量代換即可得證;

2)在圖②中BEDF、EF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關系:EF=DF-BE,理由同(1);

3)在圖③中BE、DFEF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關系:EF=BE+DF,理由同(1).

解:(1)∵BEPADFPA,

∴∠BEA=AFD=90°,

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,∠BAD=90°

∴∠BAE+DAF=90°,

又∵∠AFD=90°,

∴∠ADF+DAF=90°,

∴∠BAE=ADF,

在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADFAAS),

BE=AF,AE=DF,

AF-AE=EF

EF=BE-DF

2)在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關系:EF=DF-BE;;

BEPA,DFPA

∴∠BEA=AFD=90°,

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,∠BAD=90°

∴∠BAE+DAF=90°,

又∵∠AFD=90°

∴∠ADF+DAF=90°,

∴∠BAE=ADF,

在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADFAAS),

BE=AFAE=DF,

AE-AF=EF

EF=DF-BE;.

3)在圖③中BEDF、EF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關系:EF=BE+DF.,

理由為:∵BEPA,DFPA,

∴∠BEA=AFD=90°,

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,∠BAD=90°,

∴∠BAE+DAF=90°,

又∵∠AFD=90°

∴∠ADF+DAF=90°,

∴∠BAE=ADF,

在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADFAAS),

BE=AF,AE=DF,

AE+AF=EF,

EF=BE+DF.

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