【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,點D是射線CB上的一個動點,△ADE是等邊三角形,點F是AB的中點,聯(lián)結EF.
(1)如圖,當點D在線段CB上時,
①求證:△AEF≌△ADC;
②聯(lián)結BE,設線段CD=x,線段BE=y,求y關于x的函數(shù)解析式及定義域;
(2)當∠DAB=15°時,求△ADE的面積.
【答案】(1)①證明見解析;②函數(shù)的解析式是y=,定義域是0<x≤5;(2)△ADE的面積為或50+75.
【解析】
(1)①在直角三角形中,由30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出的長,再由為中點,得到,確定出三角形為等邊三角形,利用等式的性質得到一對角相等,再由,利用即可得證;
②由全等三角形對應角相等得到為直角,,在三角形中,利用勾股定理即可列出關于的函數(shù)解析式及定義域;
(2)分兩種情況考慮:①當點D在線段上時;②當點D在線段的延長線上時,分別求出三角形面積即可.
(1)①在Rt△ABC中,
∵∠B=30°,AB=10,
∴∠CAB=60°,AC=AB=5,
∵點F是AB的中點,
∴AF=AB=5,
∴AC=AF,
∵△ADE是等邊三角形,
∴AD=AE,∠EAD=60°,
∵∠CAB=∠EAD,即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB,
∴∠CAD=∠FAE,
在△AEF和△ADC中,
,
∴△AEF≌△ADC(SAS);
②∵△AEF≌△ADC,
∴∠AFE=∠C=90°,EF=CD=x,
又∵點F是AB的中點,
∴AE=BE=y,
在Rt△AEF中,勾股定理可得:y2=25+x2,
∴函數(shù)的解析式是,定義域是;
(2)①當點D在線段CB上時,
由∠DAB=15°,可得∠CAD=45°,△ADC是等腰直角三角形,
∴AD2=50,
△ADE的面積為;
②當點D在線段CB的延長線上時,
由∠DAB=15°,可得∠ADB=15°,BD=BA=10,
∴在Rt△ACD中,勾股定理可得,
△ADE的面積為,
綜上所述,△ADE的面積為或.
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【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于點D,點P是BA延長線一點,點O是線段AD上一點,OP=OC.
(1)已知∠APO=18°,求∠DCO的度數(shù);
(2)求證:△OPC是等邊三角形;
(3)求證:AC=AO+AP.
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【題目】已知一次函數(shù)y=x +m和y=-x +n的圖象都是經(jīng)過點A(-2,0),且與y軸分別交于B、C兩點.
(1)直接寫出B、C兩點的坐標B: ;C:
(2)求ABC的面積.
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【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD中,M、N分別為AB和CD的中點.
(1)求證:四邊形AMCN是平行四邊形;
(2)若AC=BC=5,AB=6,求四邊形AMCM的面積.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點P是CD邊上一動點,連接PA,分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分別為E、F,如圖①。
(1)請?zhí)骄?/span>BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關系?并說明理由。
(2)若點P在DC的延長線上,如圖②,那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關系?直接寫出結論。
(3)若點P在CD的延長線上呢,如圖③,直接寫出結論。
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【題目】如圖1,D是邊長為4㎝的等邊△ABC的邊AB上的一點,DQ⊥AB交邊BC于點Q,RQ⊥BC交邊AC于點R,RP⊥AC交邊AB于點E,交QD的延長線于點P.
圖1 圖2
①請說明△PQR是等邊三角形的理由;
②若BD=1.3㎝,則AE=_______㎝(填空)
③如圖2,當點E恰好與點D重合時,求出BD的長度.
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【題目】如圖1,⊿ABC中,AG⊥BC于點G,以A為直角頂點,分別以AB、AC為直角邊,向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt⊿ACF,過點E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q。
(1)求證:⊿AEP≌⊿BAG;
(2)試探究EP與FQ之間的數(shù)量關系,并證明你的結論;
(3)如圖2,若連接EF交GA的延長線于H,由(2)中的結論你能判斷EH與FH的大小關系嗎?并說明理由;
(4)在(3)的條件下,若BC=AG=10,請直接寫出S⊿AEF= .
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【題目】二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,其中圖象與x軸交于點A(-1,0),與y軸交于點C(0,-5),且經(jīng)過點D(3,-8).(1)求此二次函數(shù)的解析式; (2)用配方法將將此二次函數(shù)的解析式寫成的形式,并直接寫出此二次函數(shù)圖象的頂點坐標以及它與x軸的另一個交點B的坐標.
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