Question

【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,D為y軸上一點(diǎn),點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為D’

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方,且△OBD的面積等于△OBC的面積時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)當(dāng)點(diǎn)D'剛好落在第四象限的拋物線上時(shí),求出點(diǎn)D的坐標(biāo);

(4)點(diǎn)P在拋物線上(不與點(diǎn)B、C重合),連接PD、PD′、DD,是否存在點(diǎn)P,使△PDD′是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0,4）；（3）（0，-1）；（4）（5,6）或（3，-4）

【解析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）根據(jù)△OBD的面積等于△OBC的面積，又兩三角形的底邊都為OB，故高相等，即D點(diǎn)為C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)；

（3）可知△OBC為等腰直角三角形，求出點(diǎn)D′的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得CD＝2，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）可以D為直角頂點(diǎn)畫圖，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y＝ax2＋bx3經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)

∴將A（1，0）、B（4，0）分別代入y＝x2＋bx＋c 得

，

解得，

所以，拋物線的解析式．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，=-4，

∴C（0，4），

∵△OBD的面積等于△OBC的面積，又兩三角形的底邊都為OB，

∴高相等，即D點(diǎn)為C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)；

故D（0,4）；

（3）∵B（4，0），

∴OB＝OC＝4，

∴△OBC為等腰直角三角形，∠OCB＝45°，

如圖，設(shè)D（0，t），

∵點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為D′連接DD′，CD′，

∴由對(duì)稱性可知：∠DCD′＝2∠OCB＝90° CD＝CD′，

∴CD′∥x軸，

∴點(diǎn)D′的縱坐標(biāo)為4，

當(dāng)點(diǎn)D′在第四象限拋物線上時(shí)，將y＝4代入

解得x1＝3，x2 ＝0 （舍去）

∴CD＝CD′＝3，

∴t＝4＋3＝1，

∴D（0，1）．

（4）如圖，以D為直角頂點(diǎn)，此時(shí)PC∥x軸，

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4，

∴P（3，4），

如圖，以D為直角頂點(diǎn)，此時(shí)PD′∥y軸，

∵B（4,0）C（0,4），∴∠DCB=45°,

設(shè)D（0，t）,∴CD=t+4

作DH⊥PD’，

由△DPD’為等腰三角形的得到DH=D’H=CD·tan45°=t+4，

∴PD’=2PH=2DH=2t+8,BP=PD’-BD’= PD’-CO=2t+8-4=2t+4

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（t+4，2t+4）

代入，求得t=1，t=-4（舍去）

∴P（5,6），

綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（5,6）.