Question

16．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3．，OB=4，點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)沿AB以每秒1個單位長度的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)B時C、D都停止運(yùn)動，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作CD的垂線交直線OB于點(diǎn)F，點(diǎn)E′與點(diǎn)E關(guān)于OB對稱，EE′交直線OB于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)C、D的運(yùn)動時間為t（秒），
（1）當(dāng)t=1時，AC=2，點(diǎn)D到OB的距離為$\frac{12}{5}$
（2）當(dāng)EF與△AOB的一邊垂直時，求t的值；
（3）求△EFE′為等腰直角三角形時，t的值；
（4）求當(dāng)△ADC為等腰三角形時EE′的長度．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作點(diǎn)D到OB的距離DH，先根據(jù)時間和速度表示出兩動點(diǎn)C和D的路程OC和AD的長，并將t=1代入，根據(jù)平行線分線段成比例定理求DH的長；
（2）分兩種情況：①當(dāng)EF⊥OB時，如圖2，根據(jù)同角的三角函數(shù)列式求時間t的值；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)C與A重合時，EF⊥AB，此時t=3；
（3）（3）分兩種情況：
①如圖4，當(dāng)∠FEE′=45°時，△EFE′為等腰直角三角形，證明△DCM是等腰直角三角形，根據(jù)DM=CM列方程求出t的值即可，
②如圖5，當(dāng)∠FEE′=45°時，△EFE′為等腰直角三角形，根據(jù)CH=DH列方程求出t的值；
（4）分三種情況討論：
①當(dāng)AC=CD時，如圖6，②當(dāng)AC=AD時，如圖7，③當(dāng)AD=CD時，如圖8，先求t的值，再根據(jù)三角函數(shù)求EE′的長．

解答 解：（1）如圖1，過D作DH⊥OB于H，
∵∠AOB=90°，OA=3．，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
當(dāng)t=1時，OC=t=1，AD=t=1，
∴AC=OA-OC=3-1=2，
BD=AB-AD=5-1=4，
∵DH∥OA，
∴$\frac{DH}{AO}=\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{DH}{3}=\frac{4}{5}$，
∴DH=$\frac{12}{5}$，
故答案為：2，$\frac{12}{5}$；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)EF⊥OB時，如圖2，則∠EFO=90°，
∵EF⊥CD，
∴∠CEF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四邊形ECOF為矩形，
∴∠ECO=90°，
∴∠ACD=90°，
cos∠BAO=$\frac{OA}{BA}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{3-t}{t}$，
∴t=$\frac{15}{8}$；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)C與A重合時，EF⊥AB，
此時t=3，
∴當(dāng)EF與△AOB的一邊垂直時，t的值為$\frac{15}{8}$或3；
（3）分兩種情況：
①如圖4，當(dāng)∠FEE′=45°時，△EFE′為等腰直角三角形，
過D作DM⊥OA于M，
∵sin∠BAO=$\frac{DM}{t}=\frac{4}{5}$，cos∠BAO=$\frac{AM}{t}=\frac{3}{5}$，
∴DM=$\frac{4}{5}$t，AM=$\frac{3}{5}$t，
∴MC=OA-OC-AM=3-t-$\frac{3}{5}$t=3-$\frac{8}{5}$t，
∵EE′⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴EE′∥x軸，
∴∠E′EC=∠ACD，
∵CD⊥EF，
∴∠CEF=90°，
∵∠FEE′=45°，
∴∠E′EC=90°-45°=45°，
∴∠ACD=45°，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴DM=CM，
∴$\frac{4}{5}$t=3-$\frac{8}{5}$t，
t=$\frac{5}{4}$；
②如圖5，當(dāng)∠FEE′=45°時，△EFE′為等腰直角三角形，
連接OH，
同理得：∠CHE=45°，
∵EF垂直平分CD，
∴CH=DH，∠DHE=∠CHE=45°，
∴∠DHC=90°，
∴DH=$\frac{4}{5}$t，
∵CH=CO-OH=CO-（OA-AH）=t-（3-$\frac{3}{5}$t），
則t-（3-$\frac{3}{5}$t）=$\frac{4}{5}$t，
t=$\frac{15}{4}$，
∴△EFE′為等腰直角三角形時，t的值為$\frac{5}{4}$或$\frac{15}{4}$；
（4）分三種情況討論：
①當(dāng)AC=CD時，如圖6，
過C作CM⊥AB于M，則AM=DM=$\frac{1}{2}$t，
cos∠BAO=$\frac{AM}{AC}=\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{3-t}=\frac{3}{5}$，
t=$\frac{18}{11}$；
∴OC=$\frac{18}{11}$，
∴AC=3-$\frac{18}{11}$=$\frac{15}{11}$，
∵AG=$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{5}$×$\frac{18}{11}$=$\frac{54}{55}$，
∴CG=AC-AG=$\frac{15}{11}$-$\frac{54}{55}$=$\frac{21}{55}$，
∴HC=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{21}{110}$，
∴EE′=2OH=2（OC+CH）=2×（$\frac{18}{11}$+$\frac{21}{110}$）=$\frac{201}{55}$；
②當(dāng)AC=AD時，如圖7，
則t=3-t，
t=$\frac{3}{2}$，
分別過D、E兩點(diǎn)作AC的垂線DM、EN，垂足分別為M、N，
AM=$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{5}×\frac{3}{2}$=$\frac{9}{10}$，
∴MC=AC-AM=$\frac{3}{2}$-$\frac{9}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∵E是DC的中點(diǎn)，EN∥DM，
∴MN=NC=$\frac{1}{2}$MC=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{10}$，
∴EE′=2ON=2×（OC+NC）=2×（$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{10}$）=$\frac{18}{5}$；
③當(dāng)AD=CD時，如圖8，
過D作DM⊥OA于M，
∴AM=CM=$\frac{3}{5}$t，
則$\frac{3}{5}$t+$\frac{3}{5}$t+t=3，
t=$\frac{15}{11}$，
∴AD=$\frac{15}{11}$，
∴CE=$\frac{15}{22}$，
過E作EN⊥AC于N，
∵$\frac{CN}{CE}=\frac{3}{5}$，
∴CN=$\frac{15}{22}$，
∴EE′=2ON=2×（OC+NC）=2×（$\frac{15}{11}$+$\frac{9}{22}$）=$\frac{39}{11}$；
綜上所述，當(dāng)△ADC為等腰三角形時EE′的長度為$\frac{201}{55}$或$\frac{18}{5}$或$\frac{39}{11}$．

點(diǎn)評 本題是三角形的綜合題，綜合性較強(qiáng)，計算量大；考查了一元一次方程、等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定及軸對稱的性質(zhì)，還運(yùn)用了三角函數(shù)表示邊長，與方程相結(jié)合，求線段的長；本題運(yùn)用的知識點(diǎn)較多，題目比較好，但難度偏大．