Question

1．已知a，b，c是非零實(shí)數(shù)，且a²+b²+c²=1．a(chǎn)（$\frac{1}+\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=-3，求a+b+c的值．

Answer 1

分析 將原式變形成a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）=0后可得（a+b+c）（$\frac{bc+ac+ab}{abc}$）=0，由a+b+c≠0可知bc+ac+ab=0，將其代入得（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）得（a+b+c）²=1，即可得答案．

解答 解：將a（$\frac{1}+\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=-3變形如下，
a（$\frac{1}+\frac{1}{c}$）+1+b（$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$）+1+c（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）+1=0，
即a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）=0，
∴（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）=0，
∴（a+b+c）（$\frac{bc+ac+ab}{abc}$）=0，
∴a+b+c=0（舍）或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，則
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）=a²+b²+c²=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值為1，-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式的混合運(yùn)算，由原式變形得出bc+ac+ab=0且（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）是解題的關(guān)鍵．