Question

19．已知拋物線G₁：y=a（x-h）²+2的對稱軸為x=-1，且經(jīng)過原點．
（1）求拋物線G₁的表達式；
（2）將拋物線G₁先沿x軸翻折，再向左平移1個單位后，與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點，求A點的坐標；
（3）記拋物線在點A，C之間的部分為圖象G₂（包含A，C兩點），如果直線m：y=kx-2與圖象G₂只有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象，求直線m與拋物線G₂的對稱軸交點的縱坐標t的值或范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征即可求得；
（3）求出直線y=kx-2的解析式，再結(jié)合圖象和點的坐標即可得出答案．

解答 解：（1）∵拋物線G₁：y=a（x-h）²+2的對稱軸為x=-1，
∴y=a（x+1）²+2，
∵拋物線y=a（x+1）²+2經(jīng)過原點，
∴a（0+1）²+2=0．
解得 a=-2，
∴拋物線G₁的表達式為y=-2（x+1）²+2=-2x²-4x；
（2）由題意得，拋物線G₂的表達式為y=2（x+1+1）²-2=2x²+8x+6．
∴當y=0時，x=-1或-3．
∴A（-3，0）；
（3）由題意得，直線m：y=kx-2交y軸于點D（0，-2），
由拋物線G₂的解析式y(tǒng)=2x²+8x+6，得到頂點E（-2，-2），
當直線y=kx-2過E（-2，-2）時與圖象G₂只有一個公共點，此時t=-2，
當直線y=kx-2過A（-3，0）時
把x=-3代入y=kx-2，k=$-\frac{2}{3}$，
∴$y=-\frac{2}{3}x-2$，
把x=-2代入$y=-\frac{2}{3}x-2$，
∴y=$-\frac{2}{3}$，即t=$-\frac{2}{3}$，
∴結(jié)合圖象可知t=-2或$t＞-\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式、拋物線與x軸的交點坐標、關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征等知識；熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵．