Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，Rt△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過AO的中點C，且與AB相交于點D，OB=4，AB=3．
（1）求反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的解析式；
（2）設經(jīng)過C，D兩點的一次函數(shù)解析式為y₂=k₂x+b，求出其解析式，并根據(jù)圖象直接寫出在第一象限內(nèi)，當y₂＞y₁時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OB、AB的長度可得出點A的坐標，由點C為線段OA的中點即可得出點C的坐標，根據(jù)點C的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）由點D的橫坐標結合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點D的坐標，根據(jù)點C、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關系即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵OB=4，AB=3，點A在第一象限，
∴點A的坐標為（4，3），
∵點C為線段OA的中點，
∴點C的坐標為（2，$\frac{3}{2}$）．
∵點C在反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k₁=2×$\frac{3}{2}$=3．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{x}$（x＞0）．
（2）當x=4時，y=$\frac{3}{4}$，
∴點D的坐標為（4，$\frac{3}{4}$）．
將C（2，$\frac{3}{2}$）、B（4，$\frac{3}{4}$）代入y₂=k₂x+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+b=\frac{3}{2}}\\{4{k}_{2}+b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{3}{8}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y₂=-$\frac{3}{8}$x+$\frac{9}{4}$．
觀察函數(shù)圖象可知：當2＜x＜4時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴當y₂＞y₁時，x的取值范圍為2＜x＜4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關鍵．