如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A(1,-4)為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)B在x軸上。

(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn),且△ABQ為直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。
解:(1)把A(1,-4)代入,得k=2,∴
令y=0,解得:x=3,∴B的坐標(biāo)是(3,0)。
∵A為頂點(diǎn),∴設(shè)拋物線的解析為。
把B(3,0)代入得:4a-4=0,解得a=1。
∴拋物線的解析式為。
(2)存在。
∵OB=OC=3,OP=OP,∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí),△POB≌△POC。
此時(shí)PO平分第二象限,即PO的解析式為y=-x。
設(shè)P(m,-m),則,解得,舍去)。
∴P(
(3)①如圖,當(dāng)∠Q1AB=90°時(shí),△DAQ1∽△DOB,

,即!。
,即。
②如圖,當(dāng)∠Q2BA=90°時(shí),△BOQ2∽△DOB,
,即
,即
③如圖,當(dāng)∠AQ3B=90°時(shí),作AE⊥y軸于E,則△BOQ3∽△Q3EA,
,即。
,解得OQ3=1或3,即Q3(0,-1),Q4(0,-3)。
綜上,Q點(diǎn)坐標(biāo)為或(0,-1)或(0,-3)。

試題分析:(1)已知點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線AB的解析式,進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo).點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn),那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式,再代入點(diǎn)B的坐標(biāo),依據(jù)待定系數(shù)法可解。
(2)首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo),在△POB和△POC中,已知的條件是公共邊OP,若OB與OC不相等,那么這兩個(gè)三角形不能構(gòu)成全等三角形;若OB等于OC,那么還要滿足的條件為:∠POC=∠POB,各自去掉一個(gè)直角后容易發(fā)現(xiàn),點(diǎn)P正好在第二象限的角平分線上,聯(lián)立直線y=-x與拋物線的解析式,直接求交點(diǎn)坐標(biāo)即可,同時(shí)還要注意點(diǎn)P在第二象限的限定條件。
(3)分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn),分類(lèi)進(jìn)行討論,找出相關(guān)的相似三角形,依據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線軸相交于點(diǎn)(﹣1,0)、(3,0),與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不與重合),過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點(diǎn),點(diǎn)軸正半軸上,=2,連接、

(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)的直線將(2)中的平行四邊形分成面積相等的兩部分,求這條直線的解析式.(不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線(b,c是常數(shù),且c<0)與x軸分別交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).

(1)b=    ,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為    (上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示);
(2)連接BC,過(guò)點(diǎn)A作直線AE∥BC,與拋物線交于點(diǎn)E.點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn),其坐標(biāo)為
(2,0),當(dāng)C,D,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí),求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),連接PB,PC,設(shè)所得△PBC的面積為S.
①求S的取值范圍;
②若△PBC的面積S為整數(shù),則這樣的△PBC共有    個(gè).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知,如圖(a),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其頂點(diǎn)為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)E、F,過(guò)點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N!螼NE=30°,。

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AD、BD,在(1)中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△ABP與△ADB相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)如圖(b),點(diǎn)Q為上的動(dòng)點(diǎn)(Q不與E、F重合),連結(jié)AQ交y軸于點(diǎn)H,問(wèn):AH·AQ是否為定值?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是原點(diǎn),矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,頂點(diǎn)C在y的正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,3),拋物線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)D,連接BD.

(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),以M、B、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是6,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D→B勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→A→D勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(2013年浙江義烏10分)小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換.如圖△ABC,△DEF均為等腰直角三角形,各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,2),C(2,1),D(,0),E(, 0),F(xiàn)(,).
(1)他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450得到△A1B1C.請(qǐng)你寫(xiě)出點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo),并判斷A1C和DF的位置關(guān)系;
(2)他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上.請(qǐng)你求出符合條件的拋物線解析式;
(3)他們繼續(xù)探究,發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45,若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上,則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo).請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)P的所有坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖,已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,E、F、G分別是邊AB、BC、CA的點(diǎn),且AE=BF=CG,設(shè)△EFG的面積為y,AE的長(zhǎng)為x,則y與x的函數(shù)圖象大致是【   】

A.    B.   C.  D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位沿C→A→B方向的運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回,若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),相遇后同時(shí)停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=     時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇;
(2)在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)ι為何值時(shí),△PCQ為等腰三角形?
(3)在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)△PCQ的面積為s平方單位.
①求s與ι之間的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)s最大時(shí),過(guò)點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D,將△ABC中沿直線PD折疊,使點(diǎn)A落在直線PC上,求折疊后的
△APD與△PCQ重疊部分的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖是二次函數(shù)圖象的一部分,其對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1,且過(guò)點(diǎn)(﹣3,0).下列說(shuō)法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則
y1>y2.其中說(shuō)法正確的是【   】
A.①②B.②③C.①②④D.②③④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案