如圖,在平面直角坐標系中,點O是原點,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y的正半軸上,點B的坐標是(5,3),拋物線經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一個交點是點D,連接BD.

(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一點,以M、B、D為頂點的三角形的面積是6,求點M的坐標;
(3)點P從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動,同時點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動,當點P到達點B時,P、Q同時停止運動,設運動的時間為t秒,當t為何值時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形?請直接寫出所有符合條件的值.
解:(1)∵矩形ABCD,B(5,3),∴A(5,0),C(0,3)。
∵點A(5,0),C(0,3)在拋物線上,
,解得:。
∴拋物線的解析式為:。
(2)∵,
∴拋物線的對稱軸為直線x=3。
如答圖1所示,設對稱軸與BD交于點G,與x軸交于點H,則H(3,0)。

令y=0,即,解得x=1或x=5。
∴D(1,0)。∴DH=2,AH=2,AD=4。
,∴GH=DH•tan∠ADB=2×=。
∴G(3,)。
∵SMBD=6,即SMDG+SMBG=6,∴MG•DH+MG•AH=6,即: MG×2+MG×2=6。
解得:MG=3。
∴點M的坐標為(3,)或(3,)。
(3)在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,則BD=5,∴sinB=,cosB=。
以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形,則:
①若PD=PQ,如答圖2所示,

此時有PD=PQ=BQ=t,過點Q作QE⊥BD于點E,
則BE=PE,BE=BQ•cosB=t,QE=BQ•sinB=t,
∴DE=t+t=t。
由勾股定理得:DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2,
即(t)2+(t)2=42+(3﹣t)2,整理得:11t2+6t﹣25=0,
解得:t=或t=﹣5(舍去)。
∴t=
②若PD=DQ,如答圖3所示,

此時PD=t,DQ=AB+AD﹣t=7﹣t,
∴t=7﹣t!鄑=。
③若PQ=DQ,如答圖4所示,

∵PD=t,∴BP=5﹣t。
∵DQ=7﹣t,∴PQ=7﹣t,AQ=4﹣(7﹣t)=t﹣3。
過點P作PF⊥AB于點F,
則PF=PB•sinB=(5﹣t)×=4﹣t,BF=PB•cosB=(5﹣t)×=3﹣t。
∴AF=AB﹣BF=3﹣(3﹣t)=t。
過點P作PE⊥AD于點E,則PEAF為矩形,
∴PE=AF=t,AE=PF=4﹣t!郋Q=AQ﹣AE=(t﹣3)﹣(4﹣t)=t﹣7。
在Rt△PQE中,由勾股定理得:EQ2+PE2=PQ2,即:(t﹣7)2+(t)2=(7﹣t)2,
整理得:13t2﹣56t=0,解得:t=0(舍去)或t=。
∴t=。
綜上所述,當t=或t=或t=時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形。

試題分析:(1)求出點A、C的坐標,利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
(2)如答圖1所示,關(guān)鍵是求出MG的長度,利用面積公式解決;注意,符合條件的點M有2個,不要漏解。
(3)△DPQ為等腰三角形,可能有三種情形,需要分類討論:
①若PD=PQ,如答圖2所示;②若PD=DQ,如答圖3所示;③若PQ=DQ,如答圖4所示。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過A(2,0)、B(12,0),且y的最大值為50,求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)拋物線頂點P(2,1),且過A(-1,10),求拋物線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

先閱讀以下材料,然后解答問題:
材料:將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位,求平移后的拋物線的解析式(平移后拋物線的形狀不變)。
解:在拋物線上任取兩點A(0,3)、B(1,4),由題意知:點A向左平移1個單位得到,3),再向下平移2個單位得到,1);點B向左平移1個單位得到(0,4),再向下平移2個單位得到(0,2)。
設平移后的拋物線的解析式為。
則點,1),(0,2)在拋物線上。
可得:,解得:。
所以平移后的拋物線的解析式為:。
根據(jù)以上信息解答下列問題:
將直線向右平移3個單位,再向上平移1個單位,求平移后的直線的解析式。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且點A(1,-4)為拋物線的頂點,點B在x軸上。

(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點Q是y軸上一點,且△ABQ為直角三角形,求點Q的坐標。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知△ABC中,邊BC的長與BC邊上的高的和為20.
(1)寫出△ABC的面積y與BC的長x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出面積為48時BC的長;
(2)當BC多長時,△ABC的面積最大?最大面積是多少?
(3)當△ABC面積最大時,是否存在其周長最小的情形?如果存在,請說出理由,并求出其最小周長;如果不存在,請給予說明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

某公司銷售一種進價為20元/個的計算機,其銷售量y(萬個)與銷售價格x(元/個)的變化如下表:
價格x(元/個)

30
40
50
60

銷售量y(萬個)

5
4
3
2

同時,銷售過程中的其他開支(不含造價)總計40萬元.
(1)觀察并分析表中的y與x之間的對應關(guān)系,用所學過的一次函數(shù),反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識寫出y(萬個)與x(元/個)的函數(shù)解析式.
(2)求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z(萬個)與銷售價格x(元/個)的函數(shù)解析式,銷售價格定為多少元時凈得利潤最大,最大值是多少?
(3)該公司要求凈得利潤不能低于40萬元,請寫出銷售價格x(元/個)的取值范圍,若還需考慮銷售量盡可能大,銷售價格應定為多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線經(jīng)過A,B,C三點,頂點為F.

(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標;
(3)已知M為拋物線上一動點(不與C點重合),試探究:
①使得以A,B,M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標;
②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,點C是拋物線與x軸的另一個交點(與A點不重合).

(1)求拋物線的解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使△ABM為等腰三角形?若不存在,請說明理由;若存在,求出點M的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

二次函數(shù)的圖象如圖所示,則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象為【   】
 
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案