【題目】定義函數(shù)f(x),當x≤3時,f(x)=x2﹣2x,當x>3時,f(x)=x2﹣10x+24,若方程f(x)=2x+m有且只有兩個實數(shù)解,則m的取值范圍為

【答案】m>﹣3或﹣12<m<﹣4
【解析】解:∵x≤3時,f(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1, ∴該拋物線的頂點坐標為(1,﹣1),
當f(x)=0時,由x2﹣2x=0得x=0或x=2,
∴拋物線與x軸的交點為(0,0)和(2,0),
∵x>3時,f(x)=x2﹣10x+24=(x﹣5)2﹣1,
∴此時拋物線的頂點坐標為(5,﹣1),
當f(x)=0時,由x2﹣10x+24=0得x=4或x=6,
∴此時拋物線與x軸的交點為(4,0)和(6,0),
可得 ,即兩拋物線交點坐標為(3,3),
如圖所示:

直線f(x)=2x+m可看作直線y=2x平移得到,
①當直線f(x)=2x+m過點(3,3),即6+m=3,得m=﹣3時,
直線f(x)=2x+m與f(x)=x2﹣2x的圖象有兩個交點;
②當直線f(x)=2x+m與f(x)=x2﹣2x有一個交點,即x2﹣2x=2x+m只有一個解時,方程f(x)=2x+m有且只有兩個解,
解得:m=﹣4,
當直線f(x)=2x+m與f(x)=x2﹣10x+24只有1個交點時,即2x+m=x2﹣10x+24只有一個解,
解得:m=﹣12,
由圖象可知當m>﹣3或﹣12<m<﹣4時,方程f(x)=2x+m有且只有兩個實數(shù)解,
所以答案是:m>﹣3或﹣12<m<﹣4.
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.

練習冊系列答案
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