【題目】如圖1,在銳角△ABC中,AB=5,tanC=3,BD⊥AC于點(diǎn)D,BD=3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動,過點(diǎn)P作PE∥AC交邊BC于點(diǎn)E,以PE為邊作Rt△PEF,使∠EPF=90°,點(diǎn)F在點(diǎn)P的下方,且EF∥AB.設(shè)△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S(平方單位)(S>0),點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(秒)
(t>0).
(1)求線段AC的長.
(2)當(dāng)△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
(3)若邊EF所在直線與邊AC交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,如圖2,直接寫出△ABC的某一頂點(diǎn)到P、Q兩點(diǎn)距離相等時t的值.
【答案】(1)5(2)S=(5﹣t)2(3)綜上所述,t=s或s或s時,滿足題目要求
【解析】分析: (1)在Rt△ABD中,利用勾股定理求出AD,在Rt△BDC中,求出CD即可.
(2)分2種情形求解:如圖1中,當(dāng)0<t≤1時,重疊部分是四邊形PMDN.如圖2中,當(dāng)≤t<5時,重疊部分是四邊形PNMF.
(3)如圖5中,當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過當(dāng)A時.根據(jù)PE=PA,可得t=5-t解決問題.如圖6中,當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)B時,作EN⊥AC于N,EP交BD于M.在Rt△BQD中,根據(jù)BQ2=QD2+BD2,列出方程即可解決問題.
詳解:
(1)在Rt△ABD中,∠BDA=90°,AB=5,BD=3,
∴AD===4,
在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=3,tanc=3,∴CD===1,
∴AC=AD+CD=4+1=5.
(2)如圖1中,當(dāng)0<t≤1時,重疊部分是四邊形PMDN.
易知PA=t,AM=t,PM=t,DM=4﹣t,
∴S=t(4﹣t)=﹣t2+t.
如圖2中,當(dāng)≤t<5時,重疊部分是四邊形PNMF.
∵AB=5,AC=AD+CD=4+1=5,
∴AC=AB,
易證PB=PE=5﹣t,PF=(5﹣t),PN=(5﹣t),
S=(5﹣t)(5﹣t)﹣(5﹣t)(5﹣t)=(5﹣t)2.
(3)如圖3中,當(dāng)A到P、Q距離相等時.
易知四邊形APEQ時菱形,∴PE=PA,即t=5﹣t,∴t=.
如圖4中,當(dāng)B到P、Q距離相等時,作EN⊥AC于N,EP交BD于M.
易知四邊形PENG是矩形,四邊形DMEN是矩形,∴PG=EN=t,EM=DN=PE﹣PM=(5﹣t),
QN=EN=t,∴QD=4﹣(5﹣t)=t﹣1,在Rt△BQD中,∵BQ2=QD2+BD2,
∴(5﹣t)2=32+(t﹣1)2,∴t=.
如圖5中,當(dāng)C到P、Q距離相等時,作PM⊥AC與M,連接PC.
由PC=CQ,可得:(t)2+(5﹣t)2=t2,解得t=
綜上所述,t=s或s或s時,滿足題目要求.
點(diǎn)睛: 本題考查三角形綜合題、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題,學(xué)會用分類討論的思想思考問題,學(xué)會構(gòu)建方程解決問題,屬于中考壓軸題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:已知,對應(yīng)的坐標(biāo)如下,請利用學(xué)過的變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱)知識經(jīng)過若干次圖形變化,使得點(diǎn)A與點(diǎn)E重合、點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,寫出一種變化的過程_____.
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【題目】新定義:[a,b,c]為二次函數(shù)y=ax2+bx+e(a≠0,a,b,c為實(shí)數(shù))的“圖象數(shù)”,如:y=-x2+2x+3的“圖象數(shù)”為[-1,2,3]
(1)二次函數(shù)y=x2-x-1的“圖象數(shù)”為 .
(2)若圖象數(shù)”是[m,m+1,m+1]的二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.CD⊥AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動.在運(yùn)動過程中,以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作長為2,寬為1的矩形PQMN,其中PQ=2,PN=1,點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè),MN在PQ的下分,且PQ總保持與AC垂直.設(shè)P的運(yùn)動時間為t(秒)(t>0),矩形PQMN與△ACD的重疊部分圖形面積為S(平方單位).
(1)求線段CD的長;
(2)當(dāng)矩形PQMN與線段CD有公共點(diǎn)時,求t的取值范圍;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】已知拋物線y=ax2﹣8ax+12a(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限,且使△OCA∽△OBC,
(1)求OC的長及的值;
(2)設(shè)直線BC與y軸交于P點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C恰好在OP的垂直平分線上時,求直線BP和拋物線的解析式.
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【題目】問題情境
在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB,CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.
操作發(fā)現(xiàn)
(1)如圖(1),小明把三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在CD上,若∠2=2∠1,求∠1的度數(shù);
(2)如圖(2),小穎把三角尺的兩個銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在AB和CD上,請你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關(guān)系;
結(jié)論應(yīng)用
(3)如圖(3),小亮把三角尺的直角頂點(diǎn)F放在CD上,30°角的頂點(diǎn)E落在AB上.若∠AEG=α,則∠CFG等于______(用含α的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一張長方形紙片(如圖①),,將紙片折疊,使落在邊上,為的對應(yīng)點(diǎn),折痕為(如圖②),再將長方形以為折痕向右折疊,若點(diǎn)落在的三等分點(diǎn)上,則的長為( )
A.8B.10C.8或10D.8或12
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【題目】材料:思考的同學(xué)小斌在解決連比等式問題:“已知正數(shù),,滿足,求的值”時,采用了引入?yún)?shù)法,將連比等式轉(zhuǎn)化為了三個等式,再利用等式的基本性質(zhì)求出參數(shù)的值.進(jìn)而得出,,之間的關(guān)系,從而解決問題.過程如下:
解;設(shè),則有:
,,,
將以上三個等式相加,得.
,,都為正數(shù),
,即,.
.
仔細(xì)閱讀上述材料,解決下面的問題:
(1)若正數(shù),,滿足,求的值;
(2)已知,,,互不相等,求證:.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+2的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限的交點(diǎn)為P,PA⊥x軸于點(diǎn)A,PB⊥y軸于點(diǎn)B,函數(shù)y=kx+2的圖象分別交x軸,y軸于點(diǎn)C,D,已知△OCD的面積S△OCD=1,=
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求k,m的值;
(3)寫出當(dāng)x>0時,使一次函數(shù)y=kx+2的值大于反比例函數(shù)y=的值x的取值范圍.
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